Структура рекурсивных m-степеней в полях (стр. 1 из 2)

И.В. Ашаев, Омский государственный университет, кафедра математической логики

Обычная теория алгоритмов изучает вычислимость над конструктивными объектами, которые допускают эффективное кодирование натуральными числами. При этом многие процессы в математике, имеющие интуитивно алгоритмическую природу, но работающие в неконструктивных областях (например, в вещественных числах), не являются алгоритмами с формальной точки зрения. Новый подход, именуемый далее - обобщенная вычислимость, трактует алгоритм как конечный, дискретный, целенаправленный и детерминированный процесс, но работающий с элементами некоторой фиксированной алгебраической системы

сигнатуры . При этом элементарными шагами обобщенного алгоритма являются вычисления значений констант, функций и предикатов системы (см. [1,2,5,6]).

В качестве формализации обобщенной вычислимости будем использовать машину над списочной надстройкой из [1]. Эта машина представляет из себя конечный связный ориентированный граф с узлами четырех типов: входной узел, выходные, вычислительные и ветвления. Узел ветвления имеет две выходные дуги, с ним ассоциирована атомарная формула сигнатуры

, от истинности которой зависит выбор одной из этих дуг в процессе вычислений. Узлы остальных типов (кроме выходных) имеют одну выходную дугу, с такими узлами ассоциированы термы сигнатуры . На входной узел машины подается набор элементов системы , который передается от узла к узлу по дугам графа; в узлах элементы изменяются под действием ассоциированных термов. При достижении выходного узла работа машины прекращается, полученные элементы системы выдаются как результат. Подробности см. в [1].

Имея машину, можно определить понятие функции, вычислимой в системе

. Однако при этом полученный класс вычислимых функций будет достаточно мал (обоснование см. в [1,2]), поэтому предложенная формализация нуждается в улучшении. Один из возможных способов решения данной проблемы - усилить определение машины, разрешив машины со счетчиками, стеками и массивами (см. обзор [2]). Другой подход состоит в использовании списочной надстройки, введенной в [3]. Пусть A - множество, определим множество , состоящее из всевозможных списков (конечных последовательностей) элементов A, включая пустой список . Положим по индукции L0 = A, , . Множество HL(A) называется cписочным расширением множества A. Списочная надстройка системы есть система , где . Константа интерпретируется как пустой список, операции и есть взятие первого элемента списка x и удаление из списка x первого элемента соответственно, .

Функция

называется вычислимой в системе , если f вычисляется некоторой машиной, примененной к списочной надстройке . Множество назовем рекурсивным в , если его характеристическая функция вычислима в . Множество рекурсивно перечислимо (р.п.) в , если оно является областью определения вычислимой функции, X - выходное в системе , если оно есть множество значений некоторой вычислимой функции. В общем случае классы р.п. и выходных множеств различны (примеры см. в [1]).В дальнейшем, если ясно, о какой системе идет речь, слова "в системе ", будем опускать.

Справедлив аналог теоремы Поста: множество

рекурсивно X и его дополнение рекурсивно перечислимы. Доказательство в [1].

Вычислимость в системе

совпадает с классической вычислимостью, определяемой с помощью машины Тьюринга.

Лемма 1. Всякое рекурсивно перечислимое множество

определяется дизъюнкцией вида

(1)

где

- рекурсивно перечислимое по Тьюрингу множество бескванторных попарно несовместных формул сигнатуры . Обратно, любая р.п. дизъюнкция бескванторных формул сигнатуры определяет рекурсивно перечислимое множество .

Это вариант леммы Энгелера для вычислимости в списочной надстройке, ее доказательство можно найти в [1]. Из леммы 1 и теоремы Поста следует, что если

- бескванторная формула, то множество рекурсивно.

Определение 2. Множество X m сводится к Y (

), если существует всюду определенная вычислимая функция , что

Множества X и Y m-эквивалентны (

), если

m-степень множества X есть множество

.

m-степень рекурсивна (р.п.), если она содержит хотя бы одно рекурсивное (р.п.) множество.

Так же, как и в классической теории алгоритмов, доказывается следующая лемма (см., например, [4]).

Лемма 3. Справедливы следующие утверждения:

1) отношение

рефлексивно и транзитивно;

2) рекурсивная m-степень состоит только из рекурсивных множеств;

3)

.

Известно [4], что в арифметике существует только три рекурсивные m-степени:

, и степень всех остальных рекурсивных множеств. В данной работе описывается структура рекурсивных m-степеней в полях с трансцендентными элементами.

Итак, пусть

- поле, рассматриваемое в сигнатуре - его простое подполе. Предполагаем, что содержит трансцендентные над элементы.

Лемма 4. Множество

рекурсивно одно из множеств X или [ ] состоит из конечного набора алгебраических над элементов и вместе с каждым элементом содержит все алгебраически сопряженные с ним (т.е. корни того же самого минимального многочлена).

Доказательство. Пусть

, - минимальные многочлены для элементов X, причем вместе с каждым ai множество X содержит и все остальные корни fi(x). Тогда - рекурсивное отношение.