* Алгебры и их применение (стр. 12 из 13)

Н = Н(0)

Н(1) Н(2) ( (С2 Нк)) (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе

Н = Н(0)

Н(1) Н(2) ( (С2 (Н1+εк Н1-εк ))) (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р1 и Р2 следующим образом

P1 = PН2

( ( Iк )) (1.6.)

Р2 = PН1

PН2 ( Iк )) (1.7.)

где PНк – ортопроектор в Н на Н(к) (к = 1, 2), Is – единичный оператор в Hs s=1,…, m. Но тогда

Р1 + Р2 = PН1

PН2 ( Iк )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ1 + λ2 = a + b. Пусть λ2 = ε, тогда λ1 = a + b – ε.

Оценим ε. Заметим, что (a +b)2 – 4ab(1-τ) = (a - b)2 + 4abτ > 0.

Тогда ε =

> = 0, то есть ε = 0.

Допустим, что ε ≥ a , тогда

a ≤

≤ b – a

(b - a)2 +4abτ ≤ (b – a)2

abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a

Итак,

λ1 = ε

λ2 = a + b – ε. (1.8.)

0 < ε < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда

(А) {0, a, b, a + b} ( {εк , a + b - εк}), 0<εк<1, и

dimНεк = dimНa+b-εк (Нεк , Нa+b-εк - собственные подпространства оператора А, отвечающие εк) к=1,…m.

Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2, 0<a<b. Найдем

(А).

1) х

Н0,0, то Ах = 0 и 0 (А);

2) х

Н0,1 , то Ах = bx и b (А);

3) х

Н1,0 , то Ах = ax и a (А);

4) х

Н1,1 , то Ах = (a+b)x и a+b (А).

Тогда

(А) {0, a, b, a + b} ( {εк , a + b - εк}), где 0<εк<1, к=1,…m. Причем числа εк, a + b - εк входят одновременно в спектр А, и соответству- ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному εк также инвариантна относительно А и dimНεк = dimНa+b-εк = qk. (с учетом кратности εк)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н(0)

Н(a) Н(b) Н(a+b) ( (С2 Нк)) (1.9.)

Где Н(0)=Н0,0 , Н(a) =Н1,0 , Н(b)=Н0,1 , Н(a+b)=Н1,1 или

Н = Н(0)

Н(a) Н(b) Н(a+b) ( (Нεк Нa+b-εк) (1.10.)

Положим

P1 = Pa

Pa+b ( ( Iк )) (1.11.)

Р2 = Pb

Pa+b ( Iк )) (1.12.)

Но тогда

aР1 + bР2 = aPa

bPb (а+b)Pa+b (a ( Iк ))

(b Iк )) = A.

Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b}

( {εк , a + b - εк}), (0<εк<1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2 тогда и только тогда, когда

(А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н0

Н1 Н2 ( (С2 L2((0, ), dρк))) (2.1.)