* Алгебры и их применение (стр. 5 из 13)

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ1 – мера на Т, эквивалентная μ,

Н1 =

Н(t) dμ1(t) , π1 = π(t) dμ1(t),

Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1 и Д в Д1.

Доказательство. Пусть ρ(t)=

. Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х = x(t) dμ(t) Н в

Ux =

ρ-1/2х(t) dμ1(t).

Пусть α

А. Имеем

π1(α)Ux =

π(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ1(t) = U π(t)(α) х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,

поэтому и преобразуем π в π1. Тогда если S

Д, то аналогично SUx = USx, для любого х Н.

Определение 2.14. Пусть Т, Т1 – борелевские пространства; μ, μ1 – меры на Т и Т1 соответственно; ε = ((H(t))t

T, Г), Z1 = ((H1(t1))t1 T1, Г), - μ-измеримое и μ1-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т1 – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ1; η-изоморфизм ε на ε1 называется семейство (V(t))t T, обладающее следующими свойствами:

для любого t

T отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(η(t));

для того, чтобы поле векторов t→x(t)

H(t) на Т было μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) Н1(η(t)) на Т1 было μ1-измеримо.

Отображение, переводящее поле х

Н = Н(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t) Н1 = Н1(t) dμ1(t) , есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый V(t) dμ(t).

Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) - μ- измеримое поле представлений А в H(t),

Н =

Н(t) dμ(t), π == π(t) dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, μ1, t1→H1(t1), t1→ π1(t1), Н1, π1, Д1.

Предположим, что существует:

N, N1 – борелевские подмножества Т и Т1, такие что μ (N) = μ (N1) = 0;

борелевский изоморфизм η: T\N →T\N1, преобразует μ в μ1;

η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (t

Z\N) на поле t1→Н1(t1) (t1 Т1\N1) такой, что V(t) преобразует π(t) в π1(η(t)) для каждого t.

Тогда V =

V(t)dμ(t) преобразует Д в Д1 и π в π1.

Доказательство. Обозначим через It, It1 единичные операторы в Н(t) и Н1(t1). Если f

L∞(T, μ) и если f1 – функция на Т1\N1, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то V преобразует f(t)It dμ(t) в f1(t1) It1 dμ1(t1), поэтому V преоб- разует Д в Д1. С другой стороны, пусть α А и х = х(t) dμ(t) Н.

Тогда

Vπ(α)х = V

π(t)(α) х(t) dμ(t) = V(η-1(t1)) π(η-1(t1))(α) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1(t1)(α) V(η-1(t1)) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1 (α) V х

Поэтому V преобразует π в π1.

Приведем примеры прямых интегралов.

Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств

и дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого n N. Тогда

Н(n) dμ(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ- ной сумме.

Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке t

Т соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L2 (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х =

х(t) dt →х(t) L2 (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть

- конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Нк.

Образуем формальное произведение

(3.1.)

α = (α1,…, αn)

(n раз), то есть рассмотрим упорядо- ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро- ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается Н1 ,…, Нn = . Его векторы имеют вид:

f =

(fα C), || f ||2 = < ∞ (3.2.)

Пусть g =

, тогда скалярное произведение опреде- ляется формулой

(f, g) =

(3.3.)

Пусть f(k) =

(к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f(1)

… f(n) = (3.4.)

Коэффициенты fα =

разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || =

(3.5.)

Функция Н1

,…, Нn < > линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается α.