* Алгебры и их применение (стр. 6 из 13)
Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса
в каждом сомножителе 
. При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.Пусть Н1 и Н2 – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1
f2, причем считается, что(f1 + g1)
f2 = f1 f2 + g1 f2 (3.6.)f1
(f2 + g2) = f1 f2 + f1 g2 (3.7.)(λ f1)
f2=λ (f1 f2) (3.8.)f1
λ (f2) = λ (f1 f2) (3.9.)f1, g1
Н1; f2, g2 Н2; λ С.Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).
Затем вводится скалярное произведение в L.
(f1
f2 , g1 g2 ) = (f1 g1)(f2 g2) (3.10.)f1, g1
Н1; f2, g2 Н2,а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.
3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.
Теорема 3.1. Пусть
, 
- две последовательности гильбер- товых пространств, 
- последовательность операторов Ак L(Нк, Gк). Определим тензорное произведение А1 … Аn = 
Ак формулой(
) f = ( 
) = 
(3.11.)(f
).Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в
и определяет оператор 
L ( , 
), причем||
|| = 
|| || (3.12.)Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1
,…, Нn = (Н1 
,…, Нn-1) Нn общий случай получается по индукции.Пусть
- некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g = 
G1 G2. В качестве f возьмем вектор из Н1 Н2 с конечным числом отличных от нуля координат fα.Зафиксируем α2, β1
Z+ и обозначим через f(α2) Н1 вектор f(α2) = 
и через g(β1) G2 – вектор g(β1) = 
. Получим 
= 
==
≤ 
==
≤ 
==
Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1
G2 ряда 
уже при произвольном c 
Н1 Н2 и оценка его нормы в G1 G2 сверху через ||A1|| ||A2|| ||f||. Таким образом, оператор A1 A2: Н1 Н2 →G1 G2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1|| ||A2||.Из (3.5.) и (3.11.) следует
||(A1
A2) (f1 f2)|| = ||A1 f1|| ||A2 f2|| (fк Нк , к = 1, 2)