* Алгебры и их применение (стр. 8 из 13)

Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 .

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0(p1) = 0; π0,0(p2) = 0; π1,0(p1) = 1; π1,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0; π0,1(p2) = 1; π1,1(p1) = 1; π1,1(p2) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p1)

, π(p2) τ (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p2) =

φ (0, ).

1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН1, dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Нi,j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Нi,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, х

Н1 такой, что Р1Р2х = λх, где λ С.

Доказательство. Пусть

, ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид , где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как х

Н1, то , gk C, к = 1,…, n. Тогда

Р1Р2х = Р1Р2

= Р1Р2 = Р1 =

= Р1

= = ( ) =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,…, qn:

=

j = 1,…, n

Подбирая λ

C так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b

С имеем

Р1 (aх + bР2х) = aх + λbх = (a + λb) х

L,

Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a + b) Р2 х

L

dimL = 2, так как Нi,j = {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР2х = 0, где, например, а ≠ 0, то х =

Р2х, значит = 0 или 1 и х Н1,1; тогда Н1,1≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред- ставлений *-алгебры P2 . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе- ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2 подпространств

Н = Н0,0

Н0,1 Н1,0 Н1,1 ( (С2 Нк)), (1.1.)

где каждому подпространству Нк соответствует одно φк

(0, ), φк ≠ φi при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m). Пусть Рi,j: Н → Нi,j , Рφк: Н → С2 Нк – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P0,0

P0,1 P1,0 P1,1 ( Рφк), (1.2.)

P1 = P1,0

P1,1 ( ( Iк )) (1.3)

Р2 = P0,1

P1,1 ( Iк )) (1.4)

где Iк – единичный оператор на Нк (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j. Сразу можем записать разложение

Н = Н0,0

Н0,1 Н1,0 Н1,1 Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого- нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк (0, ):

Н΄ =

Нφк, (l = n - )

Собирая вместе все Нφк, у которых одно φк, получим изоморфизм

Нφк

… Нφк ≈ С2 Нк , где Нφк nк экземпляров, dim(Нφк … Нφк )=2nк dim(С2 Нк) = dimС2 dimНк = 2nк . Следовательно, получаем разложение (1.1.)