Подъем инвариантов классических групп (стр. 2 из 2)

Пусть теперь

по правилу . Ясно, что -эквивариантное отображение, где K* = GL(1) действует по правилу . Напомним, что отображение G-многообразий называется факторным, если сюръективно и . Хорошо известно, что K*-факторное отображение [4]. Обозначим через . Покажем, что (U, B) - хорошая пара. Функтор ограничения переводит GL(n)-модули с ХФ в G-модули с ХФ. Алгебра изоморфна как -модуль (Kl - это одномерный K*-модуль с весом l). Хорошо известно, что GL(n)-модуль Sk(E(n)) с ХФ [9]. По теореме Донкина-Матье, K[U] -модуль с ХФ. Заметим, что достаточно доказывать наличие ХФ только относительно G. Представим алгебру K[U] в виде . Отождествление происходит по правилу , где - стандартный базис E(n), а f1,f2 - E(2). Cогласно [1], имеет -фильтрацию c факторами , где - функтор Шура, пробегает все разбиения с . Нетрудно заметить, что идеал, порожденный xiyj-xjyi, совпадает с той частью фильтрации, где . Поскольку без кручения [3], то . В частности, IB с ХФ как G-модуль, а значит, и как -модуль. В итоге многообразия U, B, Z удовлетворяют условиям предложения 1.4(a) из [4]. А это значит в частности, что - хорошая пара. Осталось заметить, что (M(n), M(n)1) - хорошая GL(n)-пара по [4]. Согласно сказанному выше, это также хорошая G-пара. В частности, хорошей G-парой будет , что и требуется.

Случай C. Здесь доказательство аналогично ортогональному случаю. Мы только вкратце повторим основные моменты, указав отличие от рассмотренного выше. Матрица A остается той же самой. При этом у элементов группы ZG(A) первые и последние строки и столбцы нулевые, кроме элементов на диагонали, которые взаимно обратны и пробегают K*. Кроме того, "серединный"

-квадрат лежит в G(n-2)=Spn-2(K). Далее, легко проверить, что класс сопряженности C(A) совпадает с En + (a-1)L, где . В частности, он уже замкнут. Проверка того, что отождествляется с факторным совершенно аналогична. Здесь , образ Lie(G) состоит из матриц того же вида, что и в ортогональном случае, только коэффициенты первой строки и первого столбца никак не связаны друг с другом и поэтому размерность образа тоже равна 2n-2. Наконец, (M(n), L) - очевидно хорошая пара. Достаточно рассмотреть башню и использовать то, что tr(x)-1 - G-инвариант! Заметим еще, что в симплектическом случае характеристика поля произвольна.

Пусть теперь G - любая группа типа B, D, C. Дословно повторяя доказательство теоремы 2 из [5], мы получим эпиморфизм

, индуцированный (на остальных общих матрицах отображение тождественно). Разбив матрицы из M(n) на блоки в соответствии с блочным "строением" группы ZG(A), мы видим, что пространство M(n) изоморфно (так как ZG(A)-многообразие) в ортогональном случае и в симплектическом. Здесь K и K4 тривиальные модули, а на En-1 (соответственно на En-2) ZG(A) действует как G(n-1) (G(n-2)) c точностью до умножения на скаляр. Отсюда ясно, что каноническое отображение ( ), даст эпиморфизм ( ). Пусть Rn,m - Q-алгебра, порожденная следами от всевозможных произведений общих матриц, или транспонированных к ним (в случае C - симплектически транспонированных).

Лемма 2. Суперпозиция описанных выше отображений - это просто

и затем - каноническое на остальных матрицах.

Доказательство. К сожалению, размеры статьи, допустимые в данном журнале, не позволяют нам привести полное доказательство. Поэтому мы просто отметим здесь, что In,m порождается элементами из

После этого утверждение леммы очевидно, ведь произведение матрицы A на матрицы Xi(n), у которых приравнены нулю коэффициенты левого верхнего "угла" (или "окаймления" в случае C), дает тот же результат, что и произведение единичной матрицы.

В силу сделанного выше замечания о порождающих In,m специализация

отображает In,m+1 в In,m. Отсюда уже легко получается основная теорема.

Теорема. Каноническое отображение алгебры K[M(n)m] в K[M(n-1)m] (

в случае C) индуцирует эпиморфизм колец инвариантов.

Списоклитературы

Akin K., Buchsbaum D.A., Weyman J. Shur functors and Shur complexes// Adv. in Math. Vol.44. P.207-278 (1982).

Борель А. Линейные алгебраические группы. M.: Мир., 1972.

De Concini C., Procesi C. A characteristic free approach to invariant theory// Adv. in Math. 1976. Vol.21. P. 330-354.

Donkin S. The normality of conjugacy classes of matrices// Inv. Math., Vol.101. P.717-736 (1990).

Donkin S. Invariants of several matrices// Invent. Math. Vol.110. P.389-401 (1993).

Grotendick A., Dieudonne J. Elements de geometrie algebriques// Inst. Hautes Etudes Sci.Publ.Math. 4. 1960-1967.

Grosshans F. Observable subgroups and Hilbert's fourteenth problem// Am.J. Math. 95. P.229-253 (1973).

Humphreys J.E. Linear algebraic groups/ Springer Verlag. 1975.

Zubkov A.N. Endomorphisms of tensor products of exterior powers and Procesi hypothesis// Commun. in Algebra. 22(15). 6385-6399 (1994).