Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули (стр. 3 из 3)
2) y=1–|x–4 | Найдем пересечение с осью ОХ, для этого решим простое уравнение: 1-|x-4|=0
|x-4|=1
x - 4=1 или x - 4=-1
x=5 x=3
Следовательно данный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3.
При х=4 у=1 и ак видно из графика: графики обеих функций пересекаются в одной точке 3
Ответ: 3
Пример11. Решить уравнение | x2 + 3x | = 2(x + 1).
Решение.
Уравнение равносильно системе
Ответ:
Пример12.Решить уравнение х2 - 4х +|x - 3| +3=0
Для освобождения от знака абсолютной величины разобьем числовую прямую на две области и будем искать решения исходного уравнения в каждой из этих областей отдельно:
__________x 3__________________|____________x<3_________________
|x – 3|=x – 3 |x – 3|=-x + 3
x2 - 4x + x – 3 + 3=0 x2 – 4x – x + 3 + 3=0
x2 – 3x=0 x2 – 5x + 6=0
x(x – 3)
x1=0 или x2=3 D=25 – 4 6=1> 0два различ. корня
x=0 –посторонний корень, так как x1= (5- 1 )/2 =2
не удовлетворяет промежутку. x2=(5 + 1)/2=3
x=3 - посторонний корень, так как
не удовлетворяет промежутку.
Значит, исходное уравнение имеет два решения х1=2 и х2=3
Ответ: х1=2, х2=3
Пример13. Решить уравнение | 2x + 8 | – | x – 5 | = 12.
Решение.
Раскрытие пары модулей приводит к трем случаям (без x + 4 0, x – 5 0).
Ответ: {– 25; 3}.
Пример 14. Решить уравнение .
Решение:
Напишем равносильную смешанную систему:
Ответ: х=-4
Пример 15 Решить графически уравнение |1 – x| - |2x + 3| + x + 4=0
Решение:
Представим уравнение в виде |1 – x| - |2x + 3| =-х – 4
Построим два графика у=|1 – x| - |2x + 3| и у=-х – 4
1) у=|1 – x| - |2x + 3|
Критические точки: х=1, х=-1.5
(1 – х) ________+________|______ +____________|_____-______ >
(2х +3) - -1.5 + 1 +
а) х< -1.5, (1– x)>0 и (2х + 3)<0, т.е функция примет вид у=1 – х + 2х + 3,
у=х + 4 –графиком является прямая, проходящая через две точки (0; 4), (-4; 0)
б)При -1.5 x <1, (1 – х)>0 и (2x +3) 0, т.е функция примет вид
у=1 – х – 2х -3, у=-3х – 2 –графиком является прямая, проходящая через две точки (0; -2), (-1; 1).
в)При х1, (1 – х)0 и (2х + 3)>0, т.е. функция примет вид у= -1 + х – 2х – 3,
у= -х – 4 –графиком является прямая, проходящая через две точки (0; -4),
(-4; 0).
График функции у= - х – 4 совпадает с графиком у=|1 – x| - |2x + 3|, при х1,
Поэтому решением являются все х1 и х= -4
Ответ: х1,х= -4
Аналитическое решение.
y=|1 – x| - |2x + 3|
y=-x – 4
Построим числовую прямую так, чтобы по определению модуля знак абсолютной величины числа можно будет снять. Для этого найдем критические точки: 1- х=0 и 2х – 3 =0,
х=1 х=-1,5
___________х<-1,5_____|_______-1,5 x <1_____|_________x 1__________
|1 – x|=1 – x |1 – x|=1 – x |1 – x|=-1 + x
|2x + 3|=-2x – 3 |2x + 3|=2x + 3 |2x + 3|=2x + 3
1 – x + 2x + 3 + x + 4=0 1 – x – 2x – 3 + x +4=0 -1 + x – 2x – 3 + x + 4=0
2x=-8 -2x=-2 0x=0
x=-4 x=1 x – любое число.
Удовлетворяет данному Не удовлетворяет x [1; + )
промежутку является данному промежут- x 1 корень уравнения
корнем уравнения. куне является кор-
нем уравнения.
Объеденив данные промежутки, получим, что решением данного уравнения являются: x=-4 и x 1
Ответ: x=-4, x 1
5. Заключение.
И в заключении я хотел бы сказать, что для досканального изучения материала исследовательская работа подходит лучше всего. Мне представилась возможность больше поработать с интерестной, для меня, темой модуля и выйти за рамки того материала, который предоставляет нам учебник 10-го класса. Прочитав и изучив другую литературу, я узнал много нового и, как я считаю, важного для меня.
Список литературы
Учебник математики для Х класса - К. Вельскер, Л. Лепманн,Т. Лепманнн.
2.Уравнения и неравенства – Башмаков М. И.
3.Задачи всесоюзных математических олимпиад-Васильев Н.Б., Егоров А.А.
4.Задачи вступительных экзаменов по математике- Нестеренко Ю.В.,
Олехник С.Н., Потапов М.К.