Теория вероятностей: наука о случайном (стр. 1 из 2)
Реферат ученика 9 класса «А» средней школы № 1054 Валишева Тимура
1. Вступление.
С первого взгляда может показаться, что никаких законов, управляющих случайными явлениями нет и быть не может. Однако, если разобраться, случайные явления происходят не так уж хаотически. Во многих случаях обнаруживаются закономерности. Эти закономерности не похожи на обычные законы физических явлений; они весьма разнообразны.
Возьмем, к примеру, игру в монету. При бросании может быть два равновероятных исхода: монета может упасть кверху гербом или решкой. Бросая монету один раз нельзя предугадать, какая сторона окажется сверху. Однако, бросив монету 100 раз, можно сделать выводы. Можно заранее сказать, что герб выпадет не 1 и не 2 раза, а больше, но и не 99 и не 98 раз, а меньше. Число выпадений герба будет близко к 50. На самом деле, и на опыте можно в этом убедиться, что это число будет заключено между 40 и 60.
Так же статистически установлено, что на 1000 детей приходится 511 мальчиков и 489 девочек (т.е. 48,9% и 51,1% соответственно). Это поразительное постоянство отмечено многими учеными, среди которых и Симон Лаплас, один из основателей Теории. Эта информация позволяет нам с большой точностью предсказывать вероятность количества мальчиков или девочек в тот или иной год (эти расчеты, например, используются призывной комиссией).
2. Определения и основные понятия Теории.
Теперь перейдем к алгебраическому выражению Теории. Вот классическое определение:
определение: Пусть множество исходов опыта состоит из n равновероятных исходов. Если m из них благоприятствуют событию A, то вероятностью события A называется число
Давая такое определение, мы рассчитываем, что (в силу равновероятности исходов опыта) при n-кратном повторении опыта событие A наступит в
случаях (именно в этом заключается практическая ценность Теории).Следует объяснить некоторые понятия Теории, которые будут необходимы в дальнейшем:
Достоверное событие – событие, которое обязательно должно произойти в результате опыта. Такое событие обозначается буквой E (Expected)
Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате опыта. Такое событие обозначается буквой U (Unreal)
Несовместные события – события, которые не могут произойти в результате опыта одновременно.
Совместные события – события, которые могут произойти в результате опыта одновременно.
Событие A благоприятствует событию B, если из того, что произошло событие A следует событие B. (т.е.
)Объединением событий A и B называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произошло хотя бы одно из этих событий (т.е.
).Пересечением событий A и B называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произошли оба из этих событий (т.е.
).Закон больших чисел.
Пусть K раз мы проделали испытания, и N раз в результате опыта произошло событие A. Тогда число
будет называться частотой появления события А. Закон больших чисел утверждает, что при вероятности события А равной(причем N и K нам неизвестны), то всегда можно выбрать достаточно большое N, чтобы выполнялось соотношение:
где
(ипсилон) - сколь угодно малое положительное неравное нулю число.Это значит, что при достаточно большом количестве испытаний частота появления того или иного события будет сколь угодно мало отличаться от нуля.
Это соотношение дает возможность устанавливать опытным путем с достаточно хорошим приближением вероятность неизвестного нам события.
3. Задачи и примеры.
Первые расчеты вероятностей событий начались еще в XVII веке с подсчета шансов игроков в азартных играх. В первую очередь это была игра в кости.
Задача 1.
Бросили кость. Какова вероятность того, что выпало число 5?
Решение.
Всего существует 6 вариантов выпадения кости (n = 6). Все эти варианты равновероятны, т.к. кость сделана так, что у всех сторон есть одинаковые шансы оказаться сверху, следовательно, m = 1; значит
Где Р(5) – вероятность выпадения пятерки.
Задача 2.
Какова вероятность того, что при бросании выпадет четное число очков?
Решение.
Благоприятных возможностей здесь три: 2; 4; 6. Поэтому m = 3, всего исходов 6 (n = 6), следовательно
Где P(четн.) – вероятность выпадения четного номера.
Задача 3.
Бросили 2 игральные кости и подсчитали сумму выпавших очков. Что вероятней – получить в сумме 7 или 8?
Решение.
Вот множество исходов опыта: «В сумме выпало 2 очка», «В сумме выпало 3 очка»,…, «В сумме выпало 12 очков». Нас интересуют события A = «выпало 7 очков» и B = «выпало 8 очков». Но это не равновероятные исходы опыта, как может показаться с первого раза. Действительно, 2 в сумме может получиться единственным образом: 2 = 1+1, а 4 = 1 + 3 и 4 = 2 + 2, следовательно, шансов на то, что выпадет 4, больше. Рассмотрим такое множество событий: «на одной кости выпало k очков, а на другой кости выпало p очков».
. Но это тоже не равновероятные исходы. Чтобы получить равновероятностные исходу опыта, покрасим кости в разные цвета (черный и белый). В итоге мы имеем: «на белой кости выпало k очков, на черной – p». Обозначим это (k; p). Два таких события попарно несовместны. Число всех возможных исходов n = 62 = 36 (каждое из 6 очков на белой кости может сочетаться с любым из 6 очков на черной кости). Из этих 36 исходов событию A будут благоприятствовать исходы: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1), т.е. всего 6 (m = 6). По формуле имеем: 
Событию B будут благоприятствовать исходы: (2;6); (3;5); (4;4); (5;3); (6;2), т.е. всего 5. По формуле, имеем:
, следовательно, получить в сумме 7 очков – более вероятное событие, чем получить 8.Эта задача впервые была решена игроками в кости, и уже потом – решена математически. Она стала одной из первых, при обсуждении которых начала складываться Теория.
Задача 4.
В коробке лежит 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наугад вынимается шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?
Решение.
В результате опыта может наступить 2 события: A = «Вынут черный шар» и B = «Вынут белый шар». Но эти 2 события не равновероятны, т.к. белых шаров больше. Для получения множества равновероятных исходов пронумеруем шары: с 1 по 12 – белые и с 13 по 20 – черные. Все события Ek = «Вынут шар с номером k» равновероятны, т.к. шары на ощупь неотличимы и вынимаются на удачу. Тем более, все 20 событий Ek и являются множеством исходов нашего опыта, следовательно, n = 20. Из них 12 благоприятствуют интересующему нас событию B, следовательно, m = 12. Следовательно
Это значит, что с вероятностью 0,6 (60%) мы вытащим белый шар.
В Теории существует такое понятие, как независимость событий. У каждого из нас есть интуитивное представление о независимости событий. Так, например, мы понимаем, что, если бросить две монеты, то то, что выпало на одной монете, не зависит от того, что выпало на другой. Но т.к. Теория – математическая наука, то надо дать точное определение независимости событий.
определение: Два события А и В называются независимыми, если выполняется равенство:
Задача 6.
Два охотника независимо друг от друга одновременно стреляют по зайцу. Заяц будет убит, если попали оба. Какие у зайца шансы выжить, если первый охотник попадает с вероятностью 0,8, а второй с вероятностью 0,75?
Решение.
Рассмотрим два события: А = «в зайца попал 1-й охотник» и В = «в зайца попал 2-й охотник». Нас интересует событие
(т.е. произошло и событие A и событие В). В силу независимости событий, имеем: 
Это значит, что в 6 случаях из 10 зайца пристрелят.
Задача 7.
Известно, что на каждые 10 билетов приходится один выигрышный. Какова вероятность выигрыша, если имеется 50 билетов?
Решение.
По известной нам формуле легко вычислить, что вероятность выигрыша одного билета 0,1; вероятность того, что он не выиграет 0,9. Выигрыши и проигрыши билетов друг от друга независимы. Вероятность того, что не выиграет первый билет 0,9. Вероятность того, что не выиграет второй тоже 0,9. Тогда вероятность того, что не выиграет ни первый, ни второй, по определению независимых событий
Точно так же показывается, вероятность того, что не выиграют первые 3 билета, составляет 0,93; а вероятность того, что не выиграют все 50 билетов = 0,950; т.е. приблизительно 0,005. Соответственно, вероятность выигрыша хотя бы одного билета 0,995 (99,5%).
Задача 7.