Случайное событие и его вероятность (стр. 4 из 5)
5. Функция распределения и ее свойства
Рассмотрим вероятностное пространство
, образованное случайной величиной 
.Определение. Функцией распределения случайной величины
называется функция 
действительного переменного 
, определяющая вероятность того, что случайная величина примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа : 
(1)Там где понятно, о какой случайной величине
, 
или 
идет речь, вместо будем писать 
. Если рассматривать случайную величину как случайную точку на оси 
, то функция распределения с геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка в результате реализации эксперимента попадет левее точки .Очевидно что функция
при любом удовлетворяет неравенству 
. Функция распределения случайной величины имеет следующие свойства:2) Функция распределения — неубывающая функция
, т.е. для любых 
и 
, таких что 
, имеет место неравенство 
.Доказательство. Пусть
и 
и . Событие, состоящее в том, что примет значение, меньшее, чем , 
представим в виде объединения двух несовместных событий 
и 
: 
.Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова,
или по формуле (1) 
, (2)откуда
, так как 
. Свойство доказано.Теорема. Для любых
и вероятность неравенства 
вычисляется по формуле 
(3)Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2). Таким образом, вероятность попадания случайной величины
в полуинтервал 
равна разности значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала и .2)
; 
.Доказательство. Пусть
и 
— две монотонные числовые последовательности, причем 
, 
при 
. Событие 
состоит в том, что 
. Достоверное событие 
эквивалентно объединению событий : 
; 
.Так как
, то по свойству вероятностей 
, т.е. 
.Принимая во внимание определение предела, получаем
; 
3) Функция
непрерывна слева в любой точке , 
Доказательство. Пусть
— любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к . Тогда можно записать: 
На основании аксиомы 3
Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к
, то остаток ряда, начиная с некоторого номера 
, будет меньше 
, 
(теорема об остатке ряда) 
.Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию распределения. Получим
,откуда
или 
, а это означает, что 
.Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения
является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию 
и 
. И, обратно, каждая функция, обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше действительного числа
, вычисляется по формуле 
.