Реферат по дисциплине «Математика»
Марийский государственный технический университет
Йошкар-Ола 2004 год.
Введение
Случай, случайность — с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут лет места для математики—какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности—они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встреча со случайными событиями.
Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего «случай», «риск». Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных—алгебраиста Джероламо Кардана (1501- 1576) и Галилео Галилея (1564—1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым—Блезу Паскалю (1623—1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность.
1. Случайное событие. Его вероятность.
Любая наука, развивающая общую теорию какого-нибудь круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия точки, прямой, линии; в механике - понятия силы, массы скорости, ускорения. Естественно, что не все основные понятия могут быть полностью определены, ибо "определить" понятие
- это значит свести его к другим, более известным. Очевидно, процесс определения одних понятий через другие должен где-то кончаться, дойдя до самых первичных понятий, к которым сводятся все остальные и которые сами не определяются, а только поясняются. Такие понятия существуют и в теории вероятностей. Здесь мы рассмотрим некоторые из них.
Под опытом (экспериментом, испытанием) мы будем понимать некоторую воспроизводимую совокупность условий, в которых наблюдается то или другое явление, фиксируется тот или другой результат. Заметим, что "опыт" не обязательно должен быть поставлен человеком; он может протекать независимо от него; при этом человек выступает в роли наблюдателя или фиксатора происходящего. от него зависит только решение: что именно наблюдать и какие явления фиксировать.
Если результат опыта варьируется при его повторении, говорят об опыте со случайным исходом. Именно такие опыты мы будем здесь рассматривать и добавление "со случайным исходом" для краткости опускать. Тот факт, что при повторении опыта его основные условия сохраняются, и, значит, мы вправе ожидать устойчивости частот, тоже не будет каждый раз оговаривать.
Случайным событием ( или, короче, просто событием ) называется всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События мы будем обозначать большими буквами латинского алфавита.
Рассмотрим несколько примеров событий. 1. Опыт - бросание монеты; событие A - появление герба. 2. Опыт - бросание трех монет; событие B - появление трех гербов. 3. Опыт передача группы из n сигналов; событие C - искажение хотя бы одного из них. 4. Опыт - выстрел по мишени; событие D - попадание. 5. Опыт - вынимание наугад одной карты из колоды; событие Е - появление туза. 6. Тот же опыт, что в примере 5; событие F - появление карты червонной масти.
Рассматривая перечисленные в наших примерах события A,B,C, видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности - одни большей, а другие меньшей, причем для некоторых из них мы сразу можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Например событие A более возможно (вероятно), чем B, а событие F более возможно, чем
Е. Любое случайное событие обладает какой-то степенью возможности, которую в принципе можно измерить численно. Чтобы сравнивать события по степени их возможности, нужно связать с каждым из них какое-то число, которое тем больше, чем больше возможность события. Это число мы и назовем вероятностью события.
Отметим, что сравнивая между собой по степени возможности различные события, мы склонны считать более вероятными те события, которые происходят чаще, менее вероятными
- те, которые происходят реже; маловероятными - те, которые вообще не происходят. Например, событие "выпадение дождя в Москве 1-го июня предстоящего года" более вероятно, чем "выпадение снега в Москве тот же день", а событие "землетрясения в Москве, превышающее по интенсивности 3 балла, в течение предстоящего года" крайне мало вероятно (хотя такое землетрясение и наблюдалось в 1977 г., и статистика говорит, что подобные события происходят раз в 100 лет). Таким образом, понятие вероятности события с самого начала тесно увязывается с понятием его частоты.
Характеризуя вероятности событий числами, нужно установить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы естественно взять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта неизбежно должно произойти. Пример достоверного события - выпадение не более шести очков при бросании игральной кости. Другой пример достоверного события: " камень, брошенный вверх рукой вернется на Землю, а не станет её искусственным спутником ".
Противоположностью достоверного события является невозможное событие - то, которое в данном опыте вообще не может произойти. Пример: " выпадение 12 очков при бросании одной игральной кости ".
Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, а невозможному - равную нулю, то все другие события - возможные, но не достоверные будут характеризоваться вероятностями, лежащими между нулем и единицей, составляющими какую то долю единицы.
Таким образом, установлены единица измерения вероятности - вероятность достоверного события и диапазон вероятностей - числа от нуля до единицы.
Какое бы событие A мы бы ни взяли, его вероятность P(A) удовлетворяет условию:
0<P(A)<1.
Очень большую роль в применении вероятностных методов играют практически достоверные и практически невозможные события.
Событие A называется практически невозможным, если его вероятность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю:
P(A) 0 Пример.
Опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешали между собой; наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква записывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другими. Такой опыт производится 25 раз. Событие A состоит в том, что после 25 выниманий мы запишем первую строчку "Евгения Онегина":
"Мой дядя самых честных правил". Событие A не является физически невозможным, но вероятность его настолько мала, что событие с такой вероятностью можно смело считать практически невозможным.
Аналогично, практически достоверным является событие, вероятность которого не в точности равна единице, но очень близка к единице:
P(A) 1.
Введем новое важное понятие: противоположное событие. Противоположным событию А называется событие А, состоящее в непоявлении события А.
Пример. Опыт: Один выстрел по мишени. Событие А - попадание в десятку. Противоположное событие А - непопадание в десятку.
Вернемся к практически невозможным и практически достоверным событиям. Если какое-то событие А практически невозможно, то противоположное ему событие А практически достоверно и наоборот.
Практически невозможные ( и сопутствующие им практически достоверные) события играют большую роль в теории вероятностей: на них основана вся её познавательная ценность. Ни один прогноз в области случайных явлений не является и не может являться полностью достоверным; он может быть только практически достоверным, т. е. осуществляться с очень большой вероятностью.
В основе применения всех выводов и рекомендаций, добываемых с помощью теории вероятностей, лежит принцип практической уверенности, который можно сформулировать следующим образом:
Если вероятность события А в данном опыте весьма мала, то (при однократном выполнении опыта) можно вести себя так, как будто событие А вообще невозможно, т. е. не рассчитывать на его появление.
В повседневной жизни мы постоянно (хотя и бессознательно) пользуемся этим при принципом. Например выезжая куда-то на такси, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в дорожной катастрофе, хотя некоторая (весьма малая) вероятность этого события все же имеется. Отправляясь летом на Кавказ или в Крым, мы не захватываем с собой зимней верхней одежды, хотя какая-то (очень малая) вероятность того, что нас настигнет мороз, всё-таки не равна нулю.
Переходим к самому тонкому и трудному вопросу: насколько мала должна быть вероятность события, чтобы его можно было считать практически невозможным ?
Ответ на вопрос выходит за рамки математической теории и в каждом отдельном случае решается из практических соображений, в соответствии с той важностью, которую имеет желаемый для нас результат опыта. Чем опаснее для нас возможная ошибка предсказания, тем ближе к нулю должна быть вероятность события, чтобы его считать практически невозможным.
Существует класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов можно вычислить, исходя непосредственно из самих условий опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого были объективно одинаково возможными.