Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств (стр. 3 из 6)

На геометрическом языке свойство 3 означает следующее: если

, то на графике кривой найдется точка С с координатами , где касательная к графику параллельна оси x.

Задача 1.15. Доказать, что уравнение

при , имеет не более одного действительного корня.

Решение.

Предположим, что уравнение имеет, по крайней мере, два корня

и . Функция f, где дифференцируема на всей числовой прямой. Так как , то согласно свойству 3, ее производная на интервале имеет корень. Однако при уравнение решений не имеет. Полученное противоречие показывает, что уравнение не может иметь более одного корня.

Задача 1.16. Доказать, что многочлен

, ,

имеет не более n корней.

Решение.

Согласно свойству 3, между двумя корнями многочлена лежит, по крайнем мере, один корень его производной. Поэтому, если многочлен f(x) имеет

, различных корней, то его производная должна иметь не менее (k-1) корней. Точно так же – не менее k-2 корней и т.д., n-ая производная – не менее (k-n) корней, . Это невозможно, так как является отличной от нуля постоянной.

Задача 1.17. Доказать, что многочлен

имеет корень между 0 и 1 ( ).

Решение.

Применение свойства 2 к цели не приводит, так как

. Рассмотрим функцию g, где . Для нее функция f является производной. Так как , то согласно свойству 3, при некотором .

Задача 1.18. Доказать, что уравнение

не имеет действительных корней.

Решение.

Пусть

, тогда . Если x – корень уравнения, то , т.е. функция f, в силу ее непрерывности, убывает в окрестности каждого корня. Заметим, что если уравнение имеет корни, то они отрицательные. Известно, что многочлен n-й степени имеет не более n корней. Обозначим через - наибольший из корней. Тогда существует такое , что . Так как , то на интервале должен находиться корень x многочлена f(x). получили противоречие.

Рассмотрим уравнение вида

, где f, g – взаимно обратные, возрастающие функции, имеющие одинаковые области определения. Покажем, что это уравнение равносильно уравнению . (3)

В самом деле, пусть а является корнем уравнения (3), т.е.

. Учитывая, что область определения функции g совпадает со множеством значений функции f им наоборот, можно записать: , или , т.е. , а является корнем уравнения .

Обратно, пусть

, но . Тогда или . первом случае . Точно так же получается противоречие и во втором случае.

Таким образом, получен один частный прием равносильного преобразования уравнений.

Задача 1.19. Решить уравнение

.

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде

. Функция непрерывна, возрастающая (как сумма двух возрастающих функций и ), поэтому она имеет обратную. Найдем ее: , . Итак, обратной для f является функция , совпадающая правой частью уравнения. На основании доказанного выше уравнение эквивалентно уравнению . Ясно, что является корнем уравнения. Убедимся, что других корней уравнение не имеет.

Пусть

. Тогда положительна как разность между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел и .Таким образом, функция h возрастает на всей числовой оси. Так как , то h(x)>0 при и при , т.е. - единственный корень уравнения.

Раздел 2. Первообразная и интеграл в задачах элементарной математики

2.1. Применение интеграла от монотонных функций к доказательству неравенств

Если

при , то равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , отрезком [a,b] оси x и перпендикулярами к оси x в точках a и b.

Пусть функция f положительна, непрерывна и возрастающая на [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] на n частей точками

.

Сумма

равна сумме площадей прямоугольников, построенных на отрезках как на основаниях, с высотами , т.е. равна площади ступенчатой фигуры «вписанной» в криволинейную трапецию. Так как функция f возрастает, то эта площадь меньше площади криволинейной трапеции. Отсюда