Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств (стр. 4 из 6)

(2.1)

Аналогично, рассматривая площадь «описанной» ступенчатой фигуры, получаем

(2.2)

Если функция f положительна, непрерывна и убывающая на [a,b], то

(2.3)

Покажем на ряде примеров, как соотношения (2.1)-(2.3) используются при доказательстве неравенств.

Задача 2.1. Доказать, что если

, то .

Решение.

Выражение

совпадает с левой частью неравенства (2.1), где . Функция на интервале возрастает, непрерына, положительна. Поэтому, согласно (1), . Функция является первообразной для функции , так как

. Поэтому . Левая часть двойного неравенства доказана. Правая часть получается из соотношения (2.2) для функции при тех же предположениях.

При решении задачи 1 мы использовали тот факт, что площадь криволиней-ной трапеции, ограниченной графиком непрерывной, положительной, возрастаю-щей на [a,b] функции

, отрезком [a,b] оси x и прямыми , заключена между площадями прямоугольников, построенных на [a,b] как на основании, с высотами и соответственно.

Площади прямоугольников дают, вообще говоря, довольно грубые приближения для площади криволинейной трапеции. Более точные оценки получаются путем разбиения отрезка [a,b] на достаточно большое число частей.

Задача 2.2. Пусть

. Доказать, что для каждого .

Решение.

Рассмотрим

и функцию . Она непрерывна, положительна и убывающая. Воспользуемся неравенством (2.3), где . (Точки делят отрезок на отрезки одинаковой длины ). Получим

Отсюда

. Кроме того,

, т.е.

.

В приведенном решение выражение для

легко представлялось в виде площади некоторой ступенчатой фигуры. Чтобы воспользоваться рассмотренным в задаче методом доказательства неравенств, чаще приходится предварительно преобразо-вывать выражения, встречающиеся в неравенствах.

Задача 2.3. Доказать, что для каждого натурального n

.

Решение.

Левую часть неравенства при

можно представить в следующем виде:

Рассмотрим функцию

на отрезке .Этот отрезок точками , разбивается на n равных частей длины 1. Выражение

равно сумме площадей прямоугольников, построенных на отрезках как на основаниях с высотами . Функция при

положительна, непрерывна, убывающая. Поэтому можно воспользоваться неравенством (2.3). Имеем

Заметим, что при

неравенство очевидно.

2.2. Монотонность интеграла

Из определения интеграла вытекает, что для неотрицательной непрерывной на отрезке [a,b] функции f

для всех .

Теорема 1. Пусть функции f и g непрерывны на отрезке [a,b] и для всех

. Тогда для всех : . Это свойство называют монотонностью интеграла.

С помощью теоремы 1 почленно проинтегрировав обе части неравенства, можно получить целую серию новых неравенств. Например,

при

имеем очевидное неравенство . Применим теорему 1, положив . Функции f, g удовлетворяют условиям теоремы на промежутке . Поэтому для произвольного : , т.е. (1). Применяя тот же метод к неравенству (1), получаем , или . Отсюда . Продолжая аналогично, имеем ,

и т.д.

В рассмотренном примере выбор исходного неравенства не составил труда. В иных случаях этот первый шаг решения задачи не столь очевиден. Теорема 1 дает, по существу, прием для получения исходного неравенства.

Пусть требуется проверить истинность неравенства

(2.4)

Если справедливо соотношение

, то согласно теореме 1, имеет место и неравенство

, или (2.5).

Если имеет место неравенство

, то, складывая его почленно с (2.4), устанавливаем справедливость неравенства (2.5).

Задача 2.4. Доказать, что при

. (2.6)

Решение.

Неравенство (2.6) перепишем в виде

. Левая и правая части последнего неравенства представляют собой функции от . Обозначив , получим (2.7). Докажем, что (2.7) выполняется при . Найдем производные обеих частей неравенства (2.7). Соответственно имеем: