Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств (стр. 6 из 6)
(2.11)аналогично, если функция f вогнута, то
(2.12)Соотношение остается справедливым если касательная к графику
пересекает ось абсцисс в точках a и b.Задача 2.9. Доказать, что если 0<a<b , то выполняется
.Решение.
представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
, т.е. 
. Касательная к кривой 
в точке 
отсекает от криволинейной трапеции прямоугольную трапецию, высота которой 
, а средняя линия 
. Площадь этой трапеции равна 
. Согласно неравенству (2.6), 
.Убедимся, что указанная касательная отсекает именно трапецию, а не треугольник. Для этого достаточно проверить что точка ее пересечения с осью абсцисс лежит вне отрезка [a,b]. Уравнение касательной к кривой
в точке 
имеет вид 
. В данном случае 
, т.е. 
есть уравнение касательной. Положив в нем 
, найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью 
: 
, ч т.д.Из соотношений (2.9)-(2.12) можно получить новые неравенства. Неравенства (2.9) и (2.11) совместно дают оценку снизу и сверху для интеграла
от непрерывной, положительной и выпуклой функции. Аналогичные оценки получаем для интегралов от вогнутых функций из неравенств (2.10) и (2.12). Вернемся к задаче 2.9. Ее удалось решить, применив неравенство (3) к функции на отрезке [a,b]. Кроме того, в силу неравенства (2.9) 
, т.е. 
.Объединяя этот результат с неравенством, доказанным в задаче 2.9, получим двойное неравенство
2.4. Некоторые классические неравенства и их применение
Приведем вывод некоторых замечательных неравенств с помощью интегрального исчисления. Эти неравенства широко используются в математике, в том числе и при решении элементарных задач.
Пусть y=f(x) – непрерывная возрастающая при x>0 функция. Кроме того, f(0)=0, f(a)=b, где a, b некоторые положительные действительные числа. Из школьного курса математики известно, что если функция f возрастает и непрерывна на некотором промежутке, то существует функция f-1, обратная функции f. Ее область определения совпадает с множеством значений f. функция f-1 непрерывна и возрастает в области своего определения.
Отсюда следует, что для данной функции f существует непрерывная возрастающая обратная функция f-1 такая, что f-1(0)=0, f-1(b)=a. Графики зависимостей y=f(x) и x=f-1(y) совпадают.
Площадь S1 криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=0, x=a, равна
.Площадь S2 криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=f-1(y), x=0, y=0, y=b, равна
В последнем равенстве мы переобозначили переменную интегрирования, что, конечно, несущественно при вычислении интеграла. Поскольку площадь прямоугольника равна сумме площадей S1 и S2, то
Может оказаться, что f(a) не равно заданному числу b, т.е. f(a)>b или f(a)<b.
В каждом из этих случаев площадь прямоугольника меньше суммы площадей криволинейных трапеций, равной S1+S2.
Объединяя эти три случая, получаем следующий результат.
Пусть f и f-1 – две непрерывные возрастающие взаимно обратные функции, обращающиеся в нуль в начале координат. Тогда для a>0, b>0 имеет место неравенство
(2.13)Равенство имеет место тогда и только тогда, когда b=f(a). Это неравенство называют неравенством Юнга. Оно является источником получения других важных неравенств.
Пример 2.10. Функция f, где f(x)=x, удовлетворяет условиям, при которых справедливо соотношение (1). Далее.,f-1(x)=x. Поэтому
(2.14)Пример 2.11. Функция f, где f(x)=xa, a>0, непрерывна, возрастает при x>0, f(0)=0. Обратной для нее является функция f-1, где f-1(x)=x1/a. Из неравенства (2.13) имеем
. Обозначив 
, получим 
(2.15)Из неравенства (2.15) может быть получено известное неравенство Гельдера:
где
Из неравенства (2.15) может быть выведено и так называемое интегральное неравенство Гельдера:
где
.Полагая r=2, получим известное неравенства Коши-Буняковского:
Задача 2.21. Доказать, что для произвольного
выполняется 
Решение.
Неравенство достаточно доказать при
. Положив в неравенстве 
, имеем 
Так как
, 
, то получаем 
, или 
.Список литературы
1. Алгебра и начала анализа для 9-10 классов / Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986. – 336с.
2. Бродский Я.С., Слипенко А.К. Производная и интеграл в неравенствах, уравнениях, тождествах. – К., Выща школа, 1988. – 120с.
3. Дороговцев А.Я. Інтеграл та його застосування. – К.: Вища школа. 1974. – 125с.
4. Дорофеев Г.М. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. – 1980. – №5 – с. 12-21, №6 – с. 24-30.
5. Рижов Ю.М. Похідна та її застосування. – К. Вища школа, 1977. – 83с.
6. Ушаков Р.П., Хацет Б.І. Опуклі функції та нерівності. – К. Вища школа, 1986. – 112с.
7. Шунда Н.М., Томусяк А.А. Практикум з математичного аналізу: Вступ до аналізу. Диференціальне числення. Навч. посібник.– К., Вища школа, 1993.– 375с.