Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике (стр. 6 из 7)

S’ = (4b(b—1)—b2)/(4(b—1)2) = (4b2—4b—2b2)/(4(b—1)2) = 2b(b—2)/(4(b—1)2) =

= b(b—2)/(2(b—1)2);

S’ = 0;

точки экстремума:

b=0;

b=1;

b=2;

но b>1, значит

Sнаим =S(2) = 4/(2(2—1))=2(ед2);

Ответ: 2 ед2.

Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с ребрами CD = 24, AD= 6 и DD1 =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A1B1C1D1 , вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка P ребро DC в этом случае?

Решение. Проведем плоскость и построим сечение (рис.). АО Î АA1C1С - линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО до пересечения с CC1 в точке S. Тогда SP - линия пересечения грани DD1C1C и данной плоскости, а сечение ANMP - параллелограмм. Sсеч = SAMNP = SK*AP/2 , потому что SK/2— высота параллелограмма ANMP. Это видно из следующего рассуждения.

В ΔASC ОC1 - средняя линия (значит SC1 = 4), в ΔPSC также средняя линия МC1, а плоскость A1B1C1D1 делит пополам любую линию между S и плоскостью ABCD, а значит и SK.

Пусть PC = x; ΔCLP подобен ΔDAP,

LC/AD = x/(24—x), LC = 6x/(24—x);_____________ ____________

Из ΔCLP: KC = (6x*x/(24—x))/(√(36x2/(24—x)2)+x2) = 6x/(√(36+ (24—x)2);

________ ___________________ __________________

Из ΔSCK: SK = √SC2+ KC2 = √64+36x2/(36+(24—x)2) = 2√16+9x2/(36+(24—x)2) ;

Из ΔADP: AP = √36+(24—x)2;_____ _________________ __________________

Sсеч = AP*SK/2 = 0,5*(√36+(24—x)2) 2√16+9x2/(36+(24—x)2) = √16(36+(24—x)2)+9x2;

Если S’(x) = 0, то 18x+16*2(24—x)(-1) = 0;

50x—32*24 = 0, x = 32*24/50 = 32*12/25 = 384/25 (это точка min);

Sсеч = 312;

DP = 24—16*24/25 = 216/25;

Ответ: 312 кв. ед.; DC: 384/25; 216/25.

Задача 6. Высота пирамиды TABC с основанием ABC проходит через середину ребра AC. Выберите на AC точку М так, чтобы площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку M, середину ребра TC и вершину B, была наименьшей, если AB=BC=AC=TC=2.

Решение. HF=FC=1/2;

S∆BME = BM*EK*1/2;___ _

Из ∆TCH => TH = √4—1=√3;

EF = TH/2=√3/2;

Пусть MC = x.

Из ∆BMC по теореме косинусов MB2= x2+4—2*2*x*1/2;

MB = √x2—2x+4; _ _

S∆BMC = 0,5*MC*BC*sinC=(x/2)*2√3 /2 = x√3/2;

S∆BMC = 0,5*BM*PC, _ ________

PC = (2S∆BMC)/BM, PC = x√3/√x2—2x+4 ;

∆KMF подобен ∆PMC(по двум углам):

KF/PC = MF/MC(рис 2),_____ _ _________

KF = x√3(x—1/2)/(x√x2—2x+4) = √3(x—1/2)/(√x2—2x+4);

________ ______________________

Из ∆KEF => KE = √ KF2+EF2 = √3(x—1/2)2/(x2—2x+4)+3/4; _

S∆BME = 0,5√x2—2x+4 *√3(x—1/2)2/(x2—2x+4)+3/4 = 0,5√3(x—1/2)2+(x2—2x+4)*3/4;

Если S’(x) = 0, то

6(x—1/2)+(2x—2)*3/4 = 0;

15x—9 = 0;

x = 3/5; __

S(3/5) = √15/5 кв.ед.

Ответ: √15/5 кв.ед.

Задача 7. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 60o. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник MBK, если точка M лежит на апофеме пирамиды, а BK — высота основания пирамиды, не пересекающая апофему?

Решение. TP = 2R, ÐATO = 60o.

Пусть AB = BC = CA = a(рис.)

Тогда AO = a√3/3,

AD = BK = a√3/2, _ _

TO = AO*ctg60o= a√3/3*1/√3 = a/3,

OD = a√3 /6,

AO2 = TO*OP = TO(2R - TO),

a2/3 = a(2R – a/3)/3, a = 3R/2.

S∆MBK = BK*LM*1/2, BK = const,

S∆MBK = f(LM),__

LM = √MN2+NL2

Пусть MD = x, тогда MN = x cos / NMD; _

cos Ð NMD = TO/TD = a/(3√a2/9+a2/12 = 2/√7, MN = 2x/√7 .

Из ∆ONL: LN = ON cos30o (ÐONL = 30o);

ON = OD – ND, _ _ _ _ _

ND = x sin ÐNMD = x √3/√7, ON = a√3/6 - x√3/√7,

LN = (a√3/6 - x√3/7)√3/2 = (a/4 – 3x/(2√7)),

LM = √4x2/7+(a/4 – 3x/(2√7))2. _ _

Если LM’(x) = 0, то 8x/7+2(a/4 – 3x/(2√7))(-3/2√7) = 0,

8x/7 – 3a/4√7 + 9x/14 = 0,

25x/14 = 3a/4√7,

x = 21a/50√7. __ __

MN = (21a/50√7)*(2/√7) = 3a/25,

LN = a/4 – (3/2√7)*(21a/50√7) = 4a/25,

LM = √a2/625 + 9a2/625 = a√10/25. _

S∆MBK = a√3/2*a/5*1/2 = a√3/20 = 9√3 R2/80.

Ответ: 9√3 R2/80.

Задача 8. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между боковой гранью пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот объем.

Решение. SABC – правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу радиусом R,

SO*1,5 = AD,

LMN – правильная четырехугольная призма.

Найти. Vпр = f(LM).

Пусть SO = H, тогда AD = 1,5H;

SO1 = R – радиус сферы; LM = x –высота призмы.

∆SKO1 подобен ∆SOD => O1K/OD = SO1/SD => OK1 = OD*SO1/SD.

Из ∆AO1O: R2 = AO2 + O1O2 = (2AD/3)2 + (AD*2/3 - R)2,

R2 = 4AD2/9 + 4AD2/9 –AD*R*4/3,

8AD2/9 = AD*R*4/3 => AD = 3R/2.

Отсюда OD = R/2;

AO1 = R и SO1 = R; _

SD = √R2 + R2/4 = R√5/2, _

OK1 = 2*R*R/(2R√5) = R√5/5;

O1K = R√5/5.

Из ∆O1FN => R2 = (O1K + x)2 + NF2,

NF = √R2 – R2/5 – 2x(√5)2/5 – x2 ,

Sосн = 2NF2. _

Vпр = Sосн*x = 2(R2 – R2/5 – 2x√5 R/5 - x2)*x;

Vпр = 2(4R2x/5 – 2x2√5 R/5 - x3);

V’пр(x) = 2(4R2/5 – 2x√5 R/5 - 3x2) = 0; _

x 1,2 = (2R√5/5 + √4R2/5 + 12R2/5)/(-3) = (2R√5/5 + 4R/√5)/(-3);

x = 2√5 R/15 _ _

Vпр.max = 2(4R2*2√5R/(5*15) – 2√5R*4R2/(45*5) - _ 40√5R3/(225*15)) = 16R3√5(1 – 1/3 – 5/45)/75 = 16√5R3/135.

Ответ: 16√5R3/135 м3 при H = 2√5R/15.

Задача 9. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена так, что ее нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины верхнего основания принадлежат боковой поверхности конуса. Отношение длины диагонали основания призмы к ее высоте равно отношению длины диаметра цилиндра к его высоте. При какой высоте цилиндра объем призмы будет наибольшим? Найти этот объем призмы, если высота конуса – H и радиус основания – R.

Дано. ASO – конус;

SO = H;

AO = R;

CL/CM = BK/BN;

Найти. BN, чтобы Vпр = max

Решение. BN = x, CM = h, Vпр = Sосн CM = CL2h/2.

∆CSD подобен ∆ASO: CD/AO = SD/SO;

CD/R = (H – x - h)/H;

CD = R(H – x -h)/H.

∆BSE подобен ∆ASO: BE/AO = SE/SO;

BE/R = (H - h)/H;

BE = R(H - h)/H.

Находим отношение CD/BE = (H – x - h)/(H - x).

Исходя из условия (CL/CM = BK/BN) задачи делаем вывод,

что CD/BE = h/x, т. е. (H – x - h)/(H - x) = h/x => h = (Hx – x2)/H

Тогда CD = R(H – x – (Hx – x2)/H)/H = R(H2 – Hx – Hx +x2)/H2 = R(H - x)2/H2,

CL = 2CD = 2R(H - x)2/H2.

V = 4R2(H - x)4(H - x)x/(2H*H4) = 2R2(H - x)5x/H5;

V’(x) = 2R2((H - x)5 – 5(H - x)4 x)/H5 = 0,

(H – x) – 5x = 0, x = H/6.

V = 2HR2(5H/6)5/(6H5) = 2R2H*55/66.

Ответ: при H/6, Vmax = 2R2H*55/66.

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 – b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние между частицами.

Найти:

а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы;

б) выяснить устойчиво ли это положение;

в) Fmax значение силы притяжения;

г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).

U = a/r2 – b/r; Решение:

a и b — counts; Для определения r0 соответствующего равновесному

r0 — ? положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.

Fmax — ? Используя связь между потенциальной энергией поля

U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (-2a/r3+b/r2) = 0;

при этом r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b;

Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:

d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)<0;

равновесие устойчивое.

Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:

F = 2a/r3— b/r2;

dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0;

при r = r1 = 3a/b;

подставляя, получу Fmax = 2a/r31 — b/r31 = - b3/27a2;

U(r) = 0; при r = a/b; U(r)min при r = 2, a/b = r0;

F = 0; F(r)max при r = r1 = 3a/b;

Задача 2. Три резистора сопротивлениями R1, R2, R3 соединены параллельно. Сопротивление R1 в 9 раз больше сопротивления R2. Если все три резистора соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.

Определить сопротивления резисторов при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим.

R1 = 9 R2 Решение:

При параллельном соединении резисторов эквивалентное

R1, R2, R3 сопротивление по формуле:

1/Rэкв = 1/R1+1/R2+1/R3;

Rэкв max— ? выражу R3 через R2:

R3 = R— R1—R2=R—10R2;

тогда 1/Rэкв = (10R—91R2)/(9R2(R—10R2));

Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].

Возьмем производную от f(1/Rэкв) по R2 и преобразуем ее:

(1/Rэкв)’ = -910(R2—R/7)(R2—R/13)/(9R22 (R-10R2)2);

В интересующем нас интервале только одна точка R2 = R/13 в которой эта производная меняет знак с “—” слева на ”+”справа. Поэтому в точке R2 = R/13 достигается минимум функции 1/Rэкв и максимум функции Rэкв, при этом

R1 = 9R/13; R2 = 1R/13; R3 = 3R/13;

Rэкв max = 9R/169;

Задача 4. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону B = B0(1 + αH), где α = const (черт.).

Решение. Пусть n – нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля.,

Ф = BS = B0(1 + αH)S, где S = πd2/4 – площадь контура.

ЭДС индукции, возникающая в кольце,

E = - Ф’(t) = - (B0(1 + αH)S)’ = - B0SαH’(t).

Производная H’(t) = νн – это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом,

Ei = - B0Sα( - νн).

Так как скорость кольца направлена против оси H, то νн = - ν, где ν – модуль скорости кольца и Ei = B0Sαν.

По кольцу протекает индукционный ток

J = Ei /R = B0Sαν/R.

В результате в кольце за промежуток времени Δt выделяется количество теплоты