Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике (стр. 7 из 7)

Q = J2RΔt.

На высоте H1 кольцо обладает механической энергией

W1 = mgH1 + mν2/2,

на высоте H2

W2 = mgH2 = mgH2 + mν2/2

(ν = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии

W1 = W2 + Q => mgH1 = mgH2 + J2RΔt => mg(H1 - H2) = (B0Sαν/R)2RΔt =>

mg(H1 - H2) = (B0Sαν)2Δt/R (*)

Разность (H1 - H2) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому H1 - H2 = νΔt, и уравнение (*) примет вид:

mgνΔt = (B0Sαν)2Δt/R => mg = (B0Sα)2ν/R =>

ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2.

Ответ: ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2.

Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R(см. рис.).

Решение:

При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m;

а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E,

По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m)

Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn;

J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n);

Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю.

J’n-(kE(R—kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;

n2 = kr/R; .

n = √kr/R = √3,6*0,4/0,9 = 4;

m = k/n = 36/4 = 9;

при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;

Ответ: n = 4, m = 9.

Задача 7. Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна m кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью m кг/с.

Решение.

Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу

Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:

dP/dt = FS

P – импульс системы платформа-песок, FS – сила, действующая на систему платформа-песок.

Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:

dp/dt = F

Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени Dt:

Dp = (M+m(t+Dt))(u+Du) – (M+mt)u =FDt

где u – скорость платформы

Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:

Dp = muDt + MDu+mDut+ mDuDt =FDt

Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0

Mdu/dt+mtdu/dt+mu=F

или

d[(M+mt)u]/dt = F

Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю:

(M+mt)u = Ft

Следовательно:

u = Ft/(M+mt)

Тогда, ускорение платформы:

a = du/dt = (F(M+mt)-Ftm)/(M+mt)2 = FM / (M+mt)2

Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.

Изменение импульса за малый промежуток времени:

Dp = (M-m(t+Dt))(u+Du) +mDtu – (M-mt)u = FDt

Слагаемое mDtu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время Dt

Тогда:

Dp = MDu - mtDu - mDtDu = FDt

Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0

(M-mt)du/dt = F

или

a1=du/dt= F/(M-mt)

Ответ: a = FM / (M+mt)2 , a1= F/(M-mt)

Список литературы

И. Ф. Суворов “Курс высшей математики для техникумов”. М.: Просвещение, 1964.

В. В. Ткачук “Математика—абитуриенту”. М.: Просвещение, 1980.

Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов “Стереометрия в задачах”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 1998.

В. А. Колесников. “Физика. Теория и методы решения конкурсных задач. Часть II”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 2000.

Л. М. Лоповок “1000 проблемных задач по математике”. М.: Просвещение, 1995.

Д. Т. Письменный “Математика для старшеклассников. Теория\задачи”. М.: “Айрис”, “Рольф”, 1996.

М. Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”. Спб.: Союз, 1997.

В. И. Васюков, И. С. Григорьян, А. Б. Зимин, В. П. Карасева “Три подсказки – и любая задача решена! Часть III”. М.: Учебный центр “Ориентир” при МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.

В. А. Чуянов “Энциклопедический словарь юного физика”. М.: Педагогическа-Пресс, 1999.

А. Б. Басков, О. Б. Баскова, Н. В. Мирошин “Математика. Часть 2. Алгебра и начала анализа”. М.: МИФИ, 1997.