Из вышеизложенного следует, что существование бесконечно малых противоречит так называемой аксиоме Архимеда, которая утверждает, что для любых двух отрезков А и В можно отложить меньший из них (А) столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (В).
Приведенная формулировка касается отрезков; если считать (как это обычно делается), что длины отрезков являются числами, мы приходим к такой формулировке аксиомы Архимеда: для любых двух чисел а и b, для которых 0 < а < b, одно из неравенств а + а > b, a + а + a > b, ... обязательно выполнено. В дальнейшем, говоря об аксиоме Архимеда, мы будем иметь в виду именно эту формулировку. Из нее видно, что в множестве действительных чисел (где эта аксиома выполняется) бесконечно малых нет: чтобы убедиться в этом, достаточно положить a=e, b=1. Мы увидим в дальнейшем, что на самом деле аксиома Архимеда равносильна утверждению об отсутствии бесконечно малых элементов, не равных нулю.
Вывод – если мы хотим рассматривать бесконечно малые, нужно расширить множество R действительных чисел до некоторого большего множества *R. Элементы этого нового множества будем называть гипердействительными числами. В нем аксиома Архимеда не выполняется и существуют бесконечно малые (в смысле последнего определения) числа — такие, что сколько их ни складывай с собой, сумма будет все время оставаться меньше 1. Подобно тому как обычный (или стандартный) математический анализ занимается изучением множества действительных чисел R, нестандартный анализ изучает множество гипердействи-тельных чисел *R. Полученные при этом результаты используются для исследования свойств R. (Таким образом могут быть получены “нестандартные” доказательства свойств обыкновенных действительных чисел.)
Порядок на R архимедов, а на *R неархимедов: это значит, что в R аксиома Архимеда выполняется, а в *R не выполняется. По этой причине стандартный (обычный) анализ, изучающий R, называется еще архимедовым, а нестандартный анализ, изучающий *R, называют неархимедовым.
Для построения нестандартного анализа необходимо расширить множество действительных чисел до более широкого множества гипердействительных чисел.
Но прежде поговорим о самих действительных числах и их происхождении.
До сих пор мы предполагали известным понятие действительного числа. Понятие действительного числа имеет долгую историю, начавшуюся еще в древней Греции (о чем напоминает название “аксиома Архимеда”) и закончившуюся лишь в XIX веке. Самой первоначальной и основной числовой системой является, конечно, система натуральных чисел. Натуральных чисел, однако, оказывается мало: пытаясь решить уравнение 3 + х = 2 в натуральных числах, мы обнаруживаем, что оно не имеет решений и наше желание определить операцию вычитания оказывается неудовлетворенным. Поэтому мы расширяем множество натуральных чисел до множества целых чисел. В этой процедуре для нас сейчас важно следующее: каким образом мы определим сложение и умножение на целых числах? То, что 2 + 2 == 4, можно увидеть, сложив две кучи по два яблока в одну. Но почему мы считаем, что (-2)+(-2)=(-4)? Почему мы считаем, что (-1)(-1)=1?
Эти вопросы не так тривиальны, как может показаться. Найти правильный ответ будет легче, если сформулировать вопрос иначе: что плохого произойдет, если мы будем считать, например, что (-1)(-1)=(-1)? Ответ прост: в этом случае хорошо известные свойства сложения и умножения натуральных чисел (коммутативность, ассоциативность и др.) не будут выполняться для целых чисел. Можно показать, что обычное определение операций над отрицательными числами единственно возможное, если мы хотим сохранить привычные свойства операций сложения и умножения.
Тут следует остановиться: какие же именно свойства сложения и умножения мы хотим сохранить? Ведь если бы мы хотели сохранить все свойства, то введение отрицательных чисел было бы не только излишне, но и вредно: свойство “уравнение х+3=2 не имеет решений”, верное для натуральных чисел, становится неверным для целых! Если же мы ничего не хотим сохранить, то задача становится столь же легкой, сколь и пустой: можно определить операции с отрицательными числами как угодно.
Возвращаясь к истории развития понятия числа, мы видим, что введение отрицательных чисел не доставляет полного удовлетворения: уравнение 2x=3 по-прежнему не имеет решения. Это побуждает ввести рациональные (дробные) числа. Но и этого недостаточно: от рациональных чисел приходится перейти к действительным. В результате получается последовательность множеств NÌZÌQÌR (натуральных, целых, рациональных и действительных чисел; АÌ В означает, что всякий элемент множества А принадлежит множеству B. В этой последовательности каждое следующее множество включает в себя предыдущее, при этом имевшиеся в предыдущем операции продолжаются на следующее, более широкое, множество, сохраняя свои полезные свойства.
Мы хотим продолжить эту последовательность еще на одни член, получив последовательность NÌZÌQÌRÌ*R, где *R – множество гипердействительных чисел. Новый шаг расширения будет иметь много общего с предыдущими: мы продолжим на *R имеющиеся в R операции, сохранив их полезные свойства. Но будут и 2 важных отличия.
Во-первых, если расширение (переход от R к *R) можно выполнить многими различными способами: можно построить существенно различные множества *R, ни одно из которых ничем не выделяется среди остальных. В то жо время, все предыдущие шаги нашего расширения числовой системы от N к R были в некотором смысле однозначны.
Во-вторых, есть различие в наших целях. Если прежде (двигаясь от N к R) мы строили новую числовую систему прежде всего для того, чтобы исследовать ее свойства и ее применения, то построенная система *R предназначается не столько для того, чтобы исследовать ее свойства, сколько для того, чтобы с ее помощью исследовать свойства R. Впрочем различие и не так велико: и раньше расширение числовой системы было одним из способов получения новых знаний о старых объектах. Кроме того, множество *R можно рассматривать, быть может, как соответствующее физической реальности в не меньшей (и даже в большей) степени, чем R.
Итак, необходимо расширить множество R действительных чисел до большего множества *R, содержащего бесконечно малые, сохранив при этом все полезные свойства R. Центральный вопрос состоит в том, какие именно свойства действительных чисел мы желаем сохранить. Ответим на этот вопрос не сразу, начав с наиболее простых свойств действительных чисел.
Прежде всего, мы хотим, чтобы гипердействительные числа можно было складывать, умножать, вычитать и делить, чтобы эти операции обладали обычными свойствами, называемыми «аксиомами поля». Сформулируем их.
Среди гипердействительных чисел должны быть выделены числа 0 и 1; определены операции сложения, умножения взятия противоположного, а также операция взятия обратного. При этом должны выполняться такие свойства:
(1) a+b=b+a (2) a+(b+c)=(a+b)+c (3) a+0=a (4) a+(-a)=0 (5) ab=ba
(6) a(bc)=(ab)c (7) a*1=a (8) a(b+c)=ab+ac (9) a*(1/a)=1 при a<>0.
Множество с операциями, обладающими этими свойствами, называется полем. Требования (1)-(9) можно сформулировать так: *R должно быть полем.
Кромеарифметических операций, зададим на гипердействительных числах порядок. Для любых двух различных гипердействительных чисел должно быть определено какое из них больше. При этои должны выполняться такие свойства:
(10) если a>b, b>c, то a>c
(11) если a>b, то a+c>b+c для любого с
(12) если a>b, c>0, то ac>bc
если a>b, c<0, то ac<bc
Поле, в котором введен порядок с такими свойствами, называется упорядоченным полем. Требования (10)-(12) можно сформулировать так: *R должно быть упорядоченным полем.
Мы хотим, чтобы среди гипердействиетльных чисел были все действительные. При этом операции и порядок на R и на *R должны быть соглсованы. Это требование можно сформулировать так: упорядоченное поле *R должно быть расширением упорядоченного поля R.
Что же нового мы ожидаем от *R? Бесконечно малых.
Определение. Элемент e>=0 упорядоченного поля называется бесконечно малым, если e<1, e+e<1. e+e+e<1 и т.д. Отрицательное e называется бесконечно малым, если –e бесконечно мало.
Существование ненулевых бесконечно малх равносильно нарушению аксиомы Архимеда для гипердействительных чисел. Упорядоченные поля, в которых справедлива аксиома Архимеда и нет бесконечно малых, называют архимедово упорядоченными. Те поля, в которых аксиома Архимеда невернаи есть бесконечно малые, называют неархимедово упорядоченными (неархимедовым).
В этих терминах треюования можно сформулировать так: система гипердействительных чисел должна быть неархимедово упорядоченным полем, являющимся расширением упорядоченного поля действительных чисел.
4. Гипердействительная прямая
Предположим, что неархимедово расширение упорядоченного поля действительных чисел существует. Исследуем его свойства.
Пусть *R – неархимедово расширение R. Его элементы называются гипердействительными числами. Среди них содержатся и все действительные числа. Для отличия тех гипердействительных чисел, которые не являются действительными (элементы R) назовем их стандартными, а остальнгые гипердействительные (элементы *R\R) – нестандартными. Тогда бесконечно малые являются нестандартными, так как среди действительных чисел бесконечно малых нет.
Бесконечно малые положительные числа меньше всех стандартных положительных чисел. Аналогичным образом отрицательные бесконечно малые числа больше всех стандартных отрицательных чисел. Таким образом, если пытаться изобразить бесконечно малые числа на числовой прямой, то пришлось бы втиснуть их настолько близко к нулю, чтобы все положительные стандартные числа оказались справа, а отрицательные – слева.
Указанное свойство может служить определением бесконечной малости: если число e>0 меньше всех стандартных положительных чисел, то оно бесконечно мало.