Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей (стр. 3 из 7)

Тип VII.

Имеет уравнение

,

получается при æ=0,

и имеет параметры

Нчало координат в средней (средняя равна моде).

Тип III.

Имеет уравнение

с началом координат в моде и с параметрами

.

Получается при æ

Тип V.

Имеет уравнение

с параметрами

кривая получается при æ=1 и бесконечна в одном направлении.

Тип VIII.

Имеет уравнение

,

простирается от –а до 0, получается при

æ

,

причем

зависит от , а параметр т получается как решение уравнения

и он не должен быть больше 1 или меньше 0.

Тогда

,

а начало в точке

Тип IX.

Имеет уравнение

,

простирается от –а до 0, получается при

æ

Параметр т определяется как решение уравнения

Тогда

,

а начало будет в точке

Тип X.

Имеет уравнение

с началом координат в точке

; получается как специальный случай кривой типа III при .

Тип XI

Имеет уравнение

,

получается при

æ

и простирается от

до , а т находится из уравнения

и b зависит от m.

Тогда

,

а начало координат в точке

.

Тип XII.

Имеет уравнение

,

получается при

æ

.

Кривая простирается от

до , начало координат в точке и

.

Тип N.

Тринадцатый тип кривых распределения Пирсона – нормальная кривая с уравнением

,

которая получается при условиях

æ

.

Типы II, VI, VII, VIII, IX представляют специальные случаи кривой типа I, тип X – специальный случай типа III, а тип XI - типа VI. [5] (См. приложение 1.)

Глава 2. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей.

В этой главе рассмотрено получение ортогональных полиномов способом, который разработал П. Л. Чебышев. А именно, через разложение в непрерывную дробь суммы

и рассмотрение знаменателей подходящих дробей полученной непрерывной дроби. Причем показано, что полученные таким образом ортогональные полиномы отвечают условиям метода наименьших квадратов, а так же показано их применение для нахождения кривых распределения вероятностей.

§ 1. Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева.

Пусть даны значения интерполируемой функции

,

соответствующие значения аргумента

. Каждому значению аргумента ставится в соответствие частота .

Требуется найти такую целую функцию

,

где

, которая удовлетворяла бы условию наименьшего значения суммы

.

В данной задаче в качестве веса

предлагается рассмотреть [8]

,

где n есть

или иначе говоря n - сумма всех испытаний.

Для решения нашей задачи находим коэффициенты

, которые определяются из следующих уравнений

;

;

……………………

;

;

После преобразований получаем следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов

;

;

……………………

……………………

;

……………………

;

где

Такой подход к нахождению коэффициентов имеет существенный недостаток – при повышении степени полинома хотя бы на единицу приходится переписывать все уравнения и решать систему заново.

Есть другой вариант построения искомого полинома [8].

Пусть будет

целая функция от степени , которая обращается в при . Положим

,

где

- целые функции степеней , а - коэффициенты.

Пусть теперь сумма

первых членов выражения

равняется

,