Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке (стр. 1 из 2)
С.С. Трахименок, Новосибирский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений
Вычисление интегралов - задача, которая до сих пор интересует как физиков, так и математиков.
В настоящей статье в § 4 предложена формула в виде ряда для вычисления интеграла от гармонической функции по круговой луночке. Эта формула является обобщением теоремы о среднем.
Для того чтобы построить подобное представление в виде ряда, понадобилось ввести (§ 1) некую специальную последовательность гармонических полиномов, которая является базисом пространства типа Бергмана [1]. Введенная последовательность изначально не является ортогональной, поэтому в § 2 предлагаются формулы для вычисления скалярных произведений от базисных функций для того, чтобы применить метод Грама-Шмидта.
1. Области, функциональное пространство, полиномиальные последовательности
Ограниченную область S в R2 назовем круговой луночкой, если ее граница Г состоит из двух дуг окружностей Г1 и Г2, пересекающихся в угловых точках С1 и С2. Угол между Г1 и Г2 обозначим через . Введем в R2 декартову систему координат (x,y), поместив ее начало в середину отрезка С1С2, абсолютная величина которого равна 2, и направив ось абсцисс перпендикулярно к нему. С помощью биполярных координат [2]
 | (1.1) |
круговая луночка S конформно отображается в бесконечную полосу
.Обозначив обратное к (1.1) преобразование как =(x,y), =(x,y), отметим, что поверхность (x,y)=j совпадает с Гj. Любая луночка S однозначно определяется заданием 1 и , т.е. S=S(1,). Для произвольной функции u(x,y) суперпозицию u(x(,),y(,)) обозначим как u(,).
В качестве функционального пространства будем рассматривать множество, являющееся подпространством так называемого пространства Бергмана b21, состоящее из гармонических в S функций u(x,y) класса W21(S), обладающих непрерывными следами на частях Г1 и Г2 границы Г. Кроме того, потребуем, чтобы функция fj() u(,j) = u(x,y)Гj , j = 1,2, удовлетворяла на Гj условию Гельдера с показателем d0. Совокупность всех таких элементов u(x,y) обозначим как W(S). Определим в W(S) скалярное произведение, положив:
. Здесь (x0,y0) - произвольная внутренняя точка из S.Рассмотрим функцию комплексного переменного z = x+iy:
.Функции u0 и v0 принадлежат W0(S) и в биполярных координатах имеют следующий вид:
  | (1.2) |
Используя формулу [3, (7.117)] с некоторыми дополнительными вычислениями, можно получить интегральные представления:
 | (1.3) |
Интегралы в (1.3), очевидно, сходятся при a(-,), b2.
Функции u0(,) и v0(,) удовлетворяют условиям Коши-Римана и аналитичны в окрестности любой точки из интервала (0,2). Значит, для такого и вещественного t, удовлетворяющего условию | t | max(, 2-), имеют место разложения:
 | (1.4) |
Здесь и далее под k понимаются функции uk или vk, k = 0,1,.... Коэффициенты uk(,), vk(,) этих разложений при k1 обладают рядом интересных свойств.
1. Из (1.4) следуют рекуррентные соотношения:
 | (1.5) |
2. Применим (1.5) к интегралам в (1.3), вычислим полученные равенства по формулам [3, (7.113), (8.108)] и, учитывая (1.1), получим в переменных (x,y):
 | (1.6) |
3. Соотношения (1.4) в декартовых координатах принимают вид:
 | (1.7) |
Из (1.6)-(1.7), используя индукцию по k, заключаем, что функции uk(x,y) и vk(x,y) - это гармонические полиномы степени k.
4. Полиномы uk(x,y) четны по y, а vk(x,y) нечетны. Кроме того, при всех k2 в угловых точках полиномы обращаются в нуль.
5. Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 полна в W(S) и образует в нем базис.
2. Ортогонализация последовательности полиномов
Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 ортогонализуем в скалярном произведении:
 | (2.1) |
g№0. Для того чтобы эта задача была решена при помощи хорошо известного процесса Грама-Шмидта, необходимо уметь вычислять скалярные произведения вида
, 
и 
. Если воспользуемся формулой Грина, то значения этих скалярных произведений дают следующие формулы:  |
 |
 ,  |
где =j, j = 1,2. Следовательно, можно ортогонализовать полиномы uk и vk методом Грама-Шмидта в смысле скалярного произведения (2.1). Получившийся базис будем обозначать как {ek,fk}.
3. Канонический базис
Для дальнейших результатов нам понадобится новый базис W(S), обладающий кроме ортогональности еще некоторыми дополнительными свойствами. Так как ортогональных базисов в гильбертовом пространстве W(S) существует бесконечно много, то любой из них можно получить из последовательности {ek,fk} унитарным преобразованием с матрицей перехода Т. Воспользуемся этим и трансформируем наш базис в базис {l}, ортогональный не только в W(S), но и в следующем скалярном произведении:
 |
где KR(x0,y0) - шар с центром в (x0,y0) и радиуса R, равного расстоянию от центра до границы S. Базис с таким дополнительным свойством назовем каноническим в точке (x0,y0). Доказано (см.[4]), что базис в W(S), канонический в точке (x0,y0), существует.
Вектор-столбец
бесконечной высоты с координатами:  ,  ,  , где  ,  | (3.1) |
для l = 0,1,2,... - назовем нормированным следом u(x,y) в точке (x0,0) аналогично его определению в [4].
Ортонормированному базису {ek,fk} сопоставим бесконечную матрицу
, столбцы которой являются нормированными следами в (x0,0) функций ek и fk. Матрица - это нормированная фундаментальная матрица следов (ФМС) в точке (x0,0). Из [4] известно, что разложима в произведение трех сомножителей, первый из которых Q = (qij) частично изометричен в l2, второй - диагонален с положительной возрастающей последовательностью диагональных элементов {j}, а третий - изометричен в l2, т.е.  |
Учитывая параметры этого разложения и формулы нахождения коэффициентов ряда [4, §5, теорема 1] и используя свойства скалярного произведения, канонический в точке (x0,0) базис
удобно записать в виде ряда по функциям ek и fk. Тогда при всех натуральных l имеют место равенства:  | (3.2) |
где   | (3.3) |
Дифференцирование ek и fk сводится к дифференцированию uk и vk.
4. Приближенное интегрирование гармонических функций
В этом параграфе построим формулы интегрирования произвольной функции из W(S) и базисной последовательности полиномов.