| Управляемые переменные | Оптимальные значения | Решение |
| X1 | 1000/55 | Время выделяемое фирмой на телерекламу |
| X2 | 91/11 | Время выделяемое фирмой на радиорекламу |
| Z | 2455/11 | Прибыль получаемая от рекламы. |
Заметим, что Z = X1 + 25X2 = 1000/55 + 25 * 91/11 = 2455/11. Это решение соответствует данным заключительной симплекс-таблицы.
Статус ресурсов
Будем относить ресурсы к дефицитным или недифицитным в зависимости от того, полное или частичное их использование предусматривает оптимальное решение задачи. Сейчас цель состоит в том, чтобы получить соответствующую информацию непосредственно из симплекс-таблицы для оптимального решения. Однако сначала следует четко уяснить следующее. Говоря о ресурсах, фигурирующих в задаче ЛП, мы подразумеваем, что установлены некоторые максимальные пределы их запасов, поэтому в соответствующих исходных ограничениях должен использоваться знак <=. Следовательно, ограничения со знаком => не могут рассматриваться как ограничения на ресурсы. Скорее, ограничения такого типа отражают то обстоятельство, что решение должно удовлетворять определенным требованиям, например обеспечению минимального спроса или минимальных отклонений от установленных структурных характеристик производства ( сбыта ).
В модели, построенной для нашей задачи, фигурирует ограничение со знаком <=. Это требование можно рассматривать как ограничение на соответствующий « ресурс », так как увеличение спроса на продукцию эквивалентно расширению « представительства » фирмы на рынке сбыта.
Из вышеизложенного следует, что статус ресурсов ( дефицитный или недефицитный ) для любой модели ЛП можно установить непосредственно из результирующей симплекс-таблицы, обращая внимание на значения остаточных переменных. Применительно к нашей задаче можно привести следующую сводку результатов :
| Ресурсы | Остаточная переменная | Статус ресурса |
| Ограничение по бюджету | S1 | Дефицитный |
| Превышение времени рекламы радио над теле | S2 | Дефицитный |
Положительное значение остаточной переменной указывает на неполное использование соответствующего ресурса, т. е. данный ресурс является недефицятным. Если же остаточная переменная равна нулю, это свидетельствует о полном потреблении соответствующего ресурса. Из таблицы видно, что наши ресурсы являются дефицитными. В случае недефицитности любое увиличение ресурсов сверх установленного максимального значения привело бы лишь к тому, что они стали бы еще более недефнинтными. Оптимальное решение задачи при этом осталось бы неизменным.
Ресурсы, увеличение запасов которых позволяет улучшить решение ( увеличить прибыль ), — это остаточные переменные S1 и S2, поскольку из симплекс-таблицы для оптимального решения видно, что они дефицитные. В связи с этим логично поставить следующий вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств на увеличение их запасов, с тем чтобы получить от них максимальную отдачу ? Ответ на этот вопрос будет дан в следующем подразделе этой главы, где рассматривается ценность различных ресурсов.
Ценность ресурса
Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения оптимального значения Z, приходящегося на единицу прироста объема данного ресурса.
Информация для оптимального решения задачи представлена в симплекс-таблице. Обратим внимание на значения коэффициентовZ уравнения, стоящих при переменных начального базиса S1 и S2. Выделим для удобства соответстзующую часть симплекс-таблицы :
| Базисные переменные | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Решение |
| Z | 1 | 0 | 0 | 27/110 | 5/22 | 2455/11 |
Как следует из теории решения задач ЛП, ценность ресурсов всегда можно определить по значениям коэффициентов при переменных начального базиса, фигурирующих в Z уравнении оптимальной симплекс-таблицы, таким образом Y1 = 27/110, а Y2 = 5/22.
Покажем, каким образом аналогичный результат можно получить непосредственно из симплекс-таблицы для оптимального решения. Рассмотрим Z уравнение симплекс-таблицы для оптимального решения нашей задачи
Z = 2455/11 ( 27/110S1 + 5/22S2 ).
Положительное приращение переменной S1 относительно ее текущего нулевого значения приводит к пропорциональному уменьшению Z, причем коэффициент пропорциональности равен 27/110. Но, как следует из первого ограничения модели :
5X1 + 100X2 + S1 = 1000
увеличение S1 эквивалентно снижению количества денег выделеных на рекламу ( далее мы будем использовать в тексте, как первый ресурс ). Отсюда следует, что уменьшение количества денег выделеных на рекламу вызывает пропорциональное уменьшение целевой функции с тем же коэффициентом пропорциональности, равным 27/110. Так как мы оперируем с линейными функциями, полученный вывод можно обобщить, считая, что и увеличение количества денег выделеных на рекламу ( эквивалентноевведению избыточной переменной S1 < 0 ) приводит к пропорциональному увеличению Z с тем же коэффициентом пропорциональности, равным 27/110. Аналогичные рассуждения справедливы для ограничения 2.
Несмотря на то что ценность различных ресурсов, определяемая значениями переменных Yi, была представлена в стоимостном выражении, ее нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым возможна закупка соответствующих ресурсов. На самом деле речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую природу н количественно характеризующей ценность ресурса только относительно полученного оптимального значения целевой функции. При изменении ограничении модели соответствующие экономические оценки будут меняться даже тогда, когда оптимизируемый процесс предполагает применение тех же ресурсов. Поэтому при характеристике ценности ресурсов экономисты предпочитают использовать такие терминыт, как теневая цена, скрытая цена, или более специфичный термин — двойственная оценка.
Заметим, что теневая цена ( ценность ресурса ) характеризует интенсивность улучшения оптимального значения Z. Однако при этом не фиксируется интервал значений увеличения запасов ресурса, при которых интенсивность улучшения целевой функции остается постоянной. Для большинства практических ситуаций логично предположить наличие верхнего предела увеличения запасов, при превышении которого соответствующее ограничение становится избыточным, что в свою очередь приводит к новому базисному решению и соответствующим ему новым теневым ценам. Ниже определяется нитервал значений запасов ресурса, при которых соответствующее ограничение не становится избыточным.
Максимальное изменение запаса ресурса
При решении вопроса о том, запас какого из ресурсов следует увеличивать в первую очередь, обычно используются теневые цены Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса, при которых теневая цена данного ресурса, ( фигурирующая в заключительной симплекс-таблице, остается неизменной, необходимо выполнить ряд дополнительных вычислений. Рассмотрим сначала соответствующие вычислительные процедуры, а затем покажем, как требуемая информация может быть получена из симплекс-таблицы для оптимального решения.
В нашей задаче запас первого ресурса изменился на т. е. запас бюджета составит 1000 + . При положительной величине запас данного ресурса увеличивается, при отрицательной — уменьшается. Как правило, исследуется ситуация, когда объем ресурса увеличивается ( > 0 ), однако, чтобы получить результат в общем виде, рассмотрим оба случая.
Как изменится симплекс-таблица при изменении величины запаса ресурса на? Проще всего получить ответ на этот вопрос. если ввести в правую часть первого ограничения начальной симплекс-таблицы и затем выполнить все алгебраические преобразования, соответствующие последовательности итераций. Поскольку правые части ограничений никогда не используются в качестве ведущих элементов, то очевидно, что на каждой итерации будет оказывать влияние только на правые части ограничений.
| Уравнение | Значения элементов правой части на соответствующих итерациях | ||
| ( начало вычислений ) | 1 | 2 ( оптимум ) | |
| Z | 0 | 0 | 2455/11 |
| 1 | 1000 | 1000 + | 1000/55 + |
| 2 | 0 | 0 | 91/11 |
Фактически вce изменения правых частей ограничений, обусловленные введением , можно определить непосредственно по данным, содержащимся в симплекс-таблицах. Прежде всего заметим, что на каждой итерации новая правая часть каждого ограничения представляет собой сумму двух величин: 1) постоянной и 2) члена, линейно зависящего от . Постоянные соответствуют числам, которые фигурируют на соответствующих итерациях в правых частях ограничений симплекс-таблиц до введения . Коэффициенты при во вторых слагаемых равны коэффициентам при S1 на той же итерации. Так, например, на последнеи итерации ( оптимальное решение ) постоянные ( 2455/11 ; 1000/55 ; 91/11 ) представляют собои числа, фигурирующие в правых частях ограничении оптимальной симплекс-таблицы до введенияКоэффициенты ( 27/110 ; 1/55 ; 1/110 ) равны коэффициентам при S1 в той же симплекс-таблице потому, что эта переменная связана только с первым ограничением. Другими словами, при анализе влияния изменений в правой части второго ограничения нужно пользоваться коэффициентами при переменной S2.