Смекни!
smekni.com

Построение экономической модели с использованием симплекс-метода (стр. 5 из 5)

Какие выводы можно сделать из полученных результатов? Так как введение  сказывается лишь на правой части симплекстаблицы, изменение запаса ресурса может повлиять только на допустимость решения. Поэтому  не может принимать значений, при которых какая-либо из ( базисных ) переменных становится отрицательной. Из этого следует, что величина  должна быть ограничена таким интервалом значений, при которых выполняется условие неотрицательности правых частей ограничений в результирующей симплекс-таблице, т. е.

X1 = 1000/55 + ( 1/55 )> 0 ( 1 )

X2 = 91/11 + ( 1/110 )=> 0 ( 2 )

Для определения допустимого интервала изменения рассмотрим два случая.

Случай 1: > 0 Очевидно, что оба неравнества при этом условии всегда будут неотрицательными.

Случай 2: < 0. Решаем неравенства : ( 1 )

( 1/55 )=> 1000/55. Из этого следует, что => 1000

( 2 )

( 1/110 )=> 91/11. Из этого следует, что => 1000

Объединяя результаты, полученные для обоих случаев, можно сделать вывод, что при 1000 <= <= + решение рассматриваемой задачи всегда будет допустимым, любое значение , выходящее за пределы указанного интервала, приведет к недопустимости решения и новой совокупности базисных переменных.

Теперь рассмотрим в каких пределах может изменяться запас ресурса 2 анализ проведем по аналогичной схеме :

Запас 2-ого ресурса изменился на т. е. запас рекламного времени составит 0 + Как изменилась симплекс-таблица при изменении величины запаса ресурса напроиллюстрировано ниже.

Уравнение Значения элементов правой части на соответствующих итерациях
( начало вычислений ) 1 2 ( оптимум )
Z 0 0 2455/11
1 1000 1000 1000/55
2 0 0 +  91/11 + 

Найдем интервал ограничивающий величину 

X1 = 1000/55 ( 50/55 ) 

X2 = 91/11 + ( 1/22 ) 

Для определения допустимого интервала изменения рассмотрим два случая.

Случай 1: > 0 Решаем неравенства : ( 1 )

( 50/55 )1000/55 из этого неравенства следует, что 



Очевидно, что 2-ое уравнение неотрицательно на данном участке.

Объединяя 2 уравнения для Случая 1 мы получим интервал для 

[ 0 ; 20 ]

Случай 2: < 0. Решаем неравенства : ( 1 )

( 50/55 )1000/55. Из этого следует, что  20

( 2 )

( 1/22 )91/11. Из этого следует, что 

Объединяя 2 уравнения для Случая 2 мы получим интервал для 

[ 200 ; 0 ]

Объединяя 2 случая мы получим интервал [ 200 ; 20 ]

Максимальное изменение коэффициентов удельной прибыли ( стоимости )

Наряду с определением допустимых изменений запасов ресурсов представляет интерес и установление интервала допустимых изменений коэффициентов удельной прибыли ( или стоимости ). Следует отметить, что уравнение целевой функции никогда не используется в качестве ведущего уравнения. Поэтому любые изменения коэффициентов целевой функции окажут влияние только на Z-уравнение результирующей симплекс-таблицы. Это означает, что такие изменения могут сделать полученное решение неоптимальным. Наша цель заключается в том, чтобы найти интервалы значений изменений коэффициентов целевой функции ( рассматривая каждый из коэффициентов отдельно ), при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными.

Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисления, положим, что удельный объем сбыта, ассоциированной с переменной

X1 изменяется от 1 до 1 + где  может быть как положительным, так и отрицательным числом. Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:

Z = ( 1 + X1 + 25X2

Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и выполнить все вычисления, необходимые для ( получения заключнтельной симплекс-таблицы, то последнее Z-уравнение будет выглядеть следующим образом:

Базисные переменные X1 X2 S1 S2 Решение
Z 0 0 27/110+1/55 5/22-50/55 2455/11+1000/55

Коэффициенты при базисных переменных X1, X2 и остаточных я равными нулю. Это уравнение отличается от Z-уравнения до введения, только наличием членов, содержащих . Коэффициенты при  равны кoэффициентам при соответствующих переменных в Z-уравнении симплекс-таблицы для полученного ранее оптимального решения

Базисные переменные X1 X2 S1 S2 Решение
X1 1 0 1/55 -50/55 1000/55

Мы рассматриваем X1 уравнение, так как коэффициент именно при этон переменной в выражении для целевои функции изменился на.

Оптимальные значения переменных будут оставаться неизменными при значениях , удовлетворяющих условию неотрицательности ( задача на отыскание максимума ) всех коэффициентов при небазисных переменных в Z-уравнении. Таким образом, должны выполняться следующие неравенства :

27/110 + 1/55

5/22 50/55

Из первого неравенства получаем, что  => 13,5, а из второго следует что  <= 1/4. Эти результаты определяют пределы изменения коэффициента C1 в виде следующего соотношения : 13,5 <=  <= 1/4. Таким образом, при уменьшении коэффициента целевой функции при переменной X1 до значения, равного 1 + ( 13,5 ) = 12,5 или при его увеличении до 1 + 13,5 = 14,5 оптимальные значения переменных остаются неизменными. Однако оптимальное значение Z будет изменяться ( в соответствии с выражением 2455/11 + 1000/55, где 13,5 <=  <= 1/4

X2 изменяется от 25 до 25 + где  может быть как положительным, так и отрицательным числом. Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:

Z = ( 25 + X2 + X1

Все предыдущее обсуждение касалось исследования изменения коэффициента при переменной, которой поставлено в соответствие ограничение, фигурирующее в симплекс-таблице. Однако такое ограничение имеется лишь в том случае, когда данная переменная является базисной ( например X1 и X2 ). Если переменная небазисная, то в столбце, содержащем базисные переменные, она не будет представлена.

Любое изменение коэффициента целевой функции при небазисной переменной приводит лишь к тому, что в заключительной симплкс-таблице изменяется только этот коэффициент. Рассмотрим в качестве иллюстрации случай, когда коэффициент при переменной S1 ( первой остаточной переменной ) изменяется от 0 до Выполнение преобразований, необходимых для получения заключительной симплекс таблицы, приводит к следующему результирующему Z-уравнению :

Базисные переменные X1 X2 S1 S2 Решение
Z 0 0 27/110+1/55 5/22 2455/11