Элементы дифференциального и интегрального исчисления в книге П. Я. Гамалеи "Вышняя теория морского искусства"
О. А. Саввина
Данное исследование подготовлено в преддверии 200-летия выхода в свет второго тома книги П. Я. Гамалеи "Вышняя теория морского искусства", содержащего начальные основания вышних вычислений, с приложениями оных к криволинейной геометрии и к навигации( СПб., 1802г.).
Этот объемистый труд любопытен во многих аспектах. Он представляет интерес как в научном историко-математическом плане, так и в историко-методическом. Но прежде всего интересна личность самого автора, поэтому хотелось бы сказать о нем несколько слов.
Платон Яковлевич Гамалея (29 ноября 1766 - 1 июля 1817) - профессиональный моряк, даровитый математик и далеко не заурядный педагог. Большая часть жизни Платона Яковлевича была связана с Морским кадетским корпусом. В 13 лет он поступил в это учебное заведение, а уже с 16 лет плавал в эскадре вице-адмирала Чичагова. (По принятому тогда в корпусе положению всех гардемаринов (воспитанников выпускного класса) предписывалось направлять на боевые корабли различных эскадр). Затем Гамалея неоднократно выходил в море и участвовал в разных сражениях, причем не всегда удачно. Пишут, что однажды он даже попал в плен.
С 1793 г. Платон Яковлевич преподает в корпусе морскую практику, эволюцию и теорию морского искусства, а с 1795 г. назначается на должность инспектора классов. В обязанности инспектора входило контролировать и оказывать помощь преподавателям. Учебный процесс в это время был поставлен в корпусе не лучшим образом (После пожара 1771 г. воспитанники переехали в Кронштадт, а преподаватели отказывались ездить туда ежедневно из Петербурга, и это не могло не сказаться на подготовке кадетов, которая стала стремительно ухудшаться).
И Платон Яковлевич принялся за переустройство. В первую очередь новый инспектор обновил состав преподавателей. Старых отправил на пенсию, а для молодых организовал своеобразный "курс переподготовки" (как сейчас бы назвали - "курсы повышения квалификации"), который состоял из курса лекций. Для чтения лекций он приглашал лучших профессоров и преподавателей других столичных кадетских корпусов и Академии наук. Много внимания он уделял и воспитательным вопросам. "Гамалея стремился возбудить в воспитанниках чувство лидерства, желание заниматься как можно лучше, добиваться высших результатов в учебе и дисциплине. Отличники в классах пользовались авторитетом, а главное, - уважением товарищей, которые величали их по имени-отчеству и по существовавшей тогда традиции называли "зейманами" (от английского "seaman" - моряк). Юноши гордились этим своим неофициальным званием. "Зейманы" были первыми помощниками преподавателей, занимались с товарищами, объясняли трудные темы, примеры и задачи"[1. С. 50].
Однако исследователи тут же замечают, что основное внимание инспектора было сосредоточено лишь на математических и специальных предметах: "Платон Яковлевич Гамалея приложил немало сил, чтобы вернуть Морскому кадетскому корпусу былую славу, но, уделяя слишком много внимания математическим и специальным учебным дисциплинам, упускал из виду другие науки, и в преподавании их не удалось достичь тех вершин, которыми славилось раньше это военно-учебное заведение" [1. С. 50].
В 1806 г. на выпуске воспитанников корпуса Гамалея произнес свою знаменитую речь: "Речь о науках вообще, о пользе их и о способе упражняться в оных", которая "представляла собой красноречивый панегирик науке вообще, в том числе и математике". В этой речи он, между прочим, указывал на необходимость соединять изучение науки с ее историей.
Но самую большую известность ученый получил за издание своей многотомной энциклопедии "Вышняя теория морского искусства". "П. Я. Гамалея тщательно изучил все, что было интересного и нового в организации учебно-воспитательного процесса как в русских кадетских корпусах, так и в военно-учебных заведениях Франции и Англии, и на этой основе с учетом морской специфики написал полный "Морской курс" (такого в ту пору не было ни в одной стране мира) [1. С.49]. Стоит при этом заметить, что в конце XVIII века С. Е. Гурьев перевел курс Безу "Навигационные или мореходные исследования", содержание и объем которого несколько уступали энциклопедии Гамалеи.
В первом томе сочинения содержатся "начальные основания алгебры, с приложениями оной геометрии", во втором - "начальные основания вышних вычислений, с приложением оных к криволинейной геометрии и к навигации", следующие тома посвящены "начальным основаниям механики" и "теории кораблестроения и кораблеправления". Итак, для вопросов высшей математики Гамалея отводит целый том и считает, что он должен предшествовать изучению физики и специальных вопросов. А это лишний раз подтверждает, какое большое значение автор придавал разделам дифференциального и интегрального исчислений.
Некоторое общее представление о содержании второго тома можно получить из оглавления, поэтому приведем его:
Предварительные понятия
Начальные основания дифференциального вычисления.
О дифференциалах алгебраических функций.
О дифференциалах логарифмических и неопределенно степенных количеств.
О дифференциалах тригонометрических линий.
О дифференциалах вышних чинов.
Приложение дифференциального вычисления к теории кривых линий, и во-первых, о касательных.
О кратных точках.
О радиусах кривизны, точках изгиба и возврата.
Приложение дифференциального вычисления к изысканию максимумов и минимумов, то есть наибольших и наименьших величин.
Точнейшее исследование способа максимумов и минимумов.
Начальные основания интегрального вычисления.
О дифференциальных функциях, содержащих одно переменное количество и имеющих точные интегралы.
Способ сыскивать приближенные интегралы посредством строк и приложение сего способа к вычислению логарифмов.
Положение приближенного способа интеграции к кругу.
Приложение интегрального вычисления к квадратуре кривых линий.
Приложение интегрального вычисления к изысканию длины кривых линий.
Приложение интегрального вычисления к квадратуре кривых поверхностей.
Приложение интегрального вычисления к измерению толстот тел.
Способ приводить интеграцию одной дифференциальной функции к другой, которой интеграл уже известен.
О интеграции соизмеримых дифференциальных дробей.
О приведении коренных функций в соизмеримые дроби.
О интегралах логарифмических и неопределенно-степенных количеств.
О интегралах функций, содержащих тригонометрические линии.
О интегралах дифференциальных функций, содержащих два или большее число переменных количеств.
О дифференциальных уравнениях первого чина.
О дифференциальных уравнениях вышних чинов.
О обратном способе касательных.
Приложение интегрального вычисления к составлению меркаторских карт и к счислению пути корабля.
Остановимся теперь несколько подробнее на некоторых, на наш взгляд, любопытных моментах второго тома.
В первом разделе "Предварительные понятия" поясняются вопросы:
1) Предмет вышних вычислений: "Изыскивать отношения между изменениями количеств и от оных восходить до отношений, кои между самими количествами пребывают, есть предмет, так называемой, вышней алгебры или вышних вычислений" [2. С.2].
2) Понятия постоянного и переменного количеств: "Постоянные всегда сохраняют одинаковую величину, между тем как переменные беспрерывно увеличиваются или уменьшаются" [2. С.2]. Замечания по поводу обозначения переменных и постоянных количеств и сегодня представляются весьма полезными: "Постоянные количества означаются обыкновенно первыми буквами a, b, c и пр. Переменные же последними x, y, z и пр." [2. С.3].
3) Бесконечно великое и бесконечно малое количества "в рассуждении другого".
4) Бесконечно малые и бесконечно великие разных степеней и чинов.
Далее дается важное правило о том, "как поступать в вычислениях с бесконечными количествами", которое потом будет неоднократно применяться при вычислении дифференциалов: "Дабы в вычислениях действовать согласно с понятием, какое мы теперь дали о бесконечных количествах, должно в алгебраическом выражении, заключающем бесконечно великое количество, оставлять только члены, содержащие самую вышнюю степень сего количества, все же прочие члены, где оно в нижних степенях находится или вовсе не входит, уничтожить должно.
Напротив того, в выражении, заключающем бесконечно малое количество, должно оставлять токмо члены, содержащие окончаемыя количества ; а буде сих нет, то те, в коих бесконечно малое в самой нижней степени находится; все же прочие члены, содержащие бесконечно малые вышних чинов, уничтожать должно" [2. С.7-8].
После примера на применение этого правила делается попытка объяснения правильности выполненных операций. Для этого Гамалея использует не только теоретические рассуждения, но и для убедительности приводит пример.
В этом же разделе дается определение функции: "Всякое выражение, содержащее одно или многие переменные количества, сочетанные каким бы то ни было образом, взаимно и с постоянными количествами, называется функция или объятие оных переменных количеств". Далее разъясняется, как следует классифицировать функции на алгебраические и трансцендентные.
И, наконец, говорится о том, что представляет собой метод вышних вычислений: "Предмет вышних вычислений есть двоякий; и потому они на две части разделяются. Первая часть научает познавать изменения переменных количеств или снисходить от количеств к их стихиям; сия часть называется дифференциальное вычисление.
Вторая часть, удовлетворяющая предмету, как находить количества по их изменениям или от стихий количеств восходить к самим количествам, называется интегральное вычисление" [2. С.15-16].