Иррациональные уравнения и неравенства (стр. 1 из 2)

Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов и информационных технологий ДВАГС

I. Преобразование иррациональных выражений.

Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.

1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.

а) Если в знаменателе стоит выражение вида

, то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение

. В этом случае применяется формула

б) Если в знаменателе стоит выражение

(или

), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на

(или

). В этом случае применяются формулы

Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

а)

; б)

; в)

; г)

; д)

; е)

Решение:

а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

д)

;

е)

Отметим еще одно свойство:

которое часто применяется в преобразованиях.

Пример 2. Упростить выражение:

а)

; б)

; в)

Решение:

а)

, т.к.

б)

, т.к.

в)

Выясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n=-1, n=1, n=0.

1) Если n<-1, то

2) Если -1£n<0, то

3) Если 0<n<1, то

4) Если n³1, то

Ответ:

II. Иррациональные уравнения.

Рассмотрим уравнение вида

Основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n – четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.

Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», то есть уравнение приводится к виду

Еще один способ решения – введение вспомогательной переменной.

Пример 3. Решить уравнения:

а)

;

б)

;

в)

;

г)

Решение:

а)

;

Проверка.

Þ х=-4 – посторонний корень,

– верно Þ х=2 – корень.

Ответ: х=2.

б)

Проверка.

– это выражение не существует, т.е.

– посторонний корень,

– верно Þ

– корень.

Ответ:

в)

Введем вспомогательную переменную

Þ x2=t2–13

t2-13-2t=22; t2-2t-35=0,

t1=7; t2=-5.

Сделаем обратную замену:

Û х2+13=49 Û х2=36 Þ х=±6,

– не имеет решений.

Ответ: х=±6.

г)

Сделаем замену переменной. Положим

. Тогда уравнение примет вид:

Проверка показывает, что

– корень.

Ответ:

III. Решение иррациональных неравенств.

При решении этих неравенств следует помнить, что в четную степень можно возводить неравенства с неотрицательными членами.

Поэтому неравенство

эквивалентно системам

или

Неравенство

равносильно системе