Линейные уравнения и неравенства (стр. 2 из 3)

Пример 3. Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?

Решение. Пусть в первом ящике было х орехов, в третьем – y. Тогда во втором ящике было х+0,1х=1,1х или y+0,3y=1,3y. Учитывая, что в первом ящике было на 80 орехов больше, чем в третьем, составляем систему уравнений:

, откуда y=440, х=520, 1,1х=572.

Замечание. Можно эту задачу решить, не составляя системы уравнений. Пусть в первом ящике было х орехов, тогда в третьем — х-80, во втором — 1,1х или 1,3(х-80). Имеем уравнение: 1,1х=1,3(х-80), х=520.

Ответ: в первом ящике было 520 орехов, во втором — 572, в третьем — 440.

Пример 4. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин. вышли навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус вышел на 1 ч 15 мин. раньше, а легковой автомобиль на 15 мин. позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?

Решение. Пусть скорость автобуса V1 км/ч, скорость легкового автомобиля V2 км/ч. Так как их встреча произошла через 1,5 ч, то имеем уравнение:1,5V1+1,5V2 =180. Если бы автобус вышел на 1ч 15 мин. раньше, то он был бы в пути 2 ч 30 мин. (7 ч 35 мин. – 5 ч 5 мин.= 2 ч 30 мин.). Если бы легковой автомобиль вышел на 15 мин. позже, то он был бы в пути 1 ч (7 ч 35 мин. – 6 ч 35 мин.= 1ч). Получаем уравнение: 2,5V1 +V2 =180.

Таким образом, имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

, откуда V1=40 км/ч, V2=80 км/ч.

Ответ: 40 км/ч, 80 км/ч.

4. Линейные неравенства с одной переменной.

Если переменной х придать какое-либо числовое значение, то мы получим числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание. Пусть, например, дано неравенство 5х-1>3х+2. При х=2 получим 5·2-1>3·2+2 – истинное высказывание (верное числовое высказывание); при х=0 получаем 5·0-1>3·0+2 – ложное высказывание. Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной – значит найти множество всех его решений.

Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают.

Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяем более простым равносильным ему неравенством и т.д.

Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Теорема 1. Если какой-либо член неравенства с одной переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Линейным называется неравенство вида ax+b>0 (соответственно ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Пример 1. Решить неравенство: 2(х-3)+5(1-х)³3(2х-5).

Раскрыв скобки, получим 2х-6+5-5х³6х-15,

-3х-1³6х-15, -9х³-14,

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство:

Освободимся от знаменателей, для чего умножим обе части неравенства на положительное число 6, оставив без изменения знак неравенства.

, далее последовательно получаем

;

Последнее неравенство верно при любом значении х, так как при любом значении переменной х получается истинное высказывание 0>-55. Поэтому множеством его решений служит вся числовая прямая.

Ответ: (-¥; +¥).

Пример 3. Решить неравенство: ½х-1½<3.

На основании определения модуля данное неравенство запишем в виде совокупности двух систем неравенств

(1)

(2)

решая эту совокупность получим (2), таким образом решением этого неравенства является промежуток (-2; 4).

Пример 4. Решить неравенство:½х+1½>2-х.

отсюда х>0,5 из первой системы, а вторая система – не имеет решения.

Ответ: (0,5; +¥)

5. Система и совокупности неравенств.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти множество общих решений заданных неравенств.

Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.

Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих систему. Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой.

Например:

Иногда используется запись в виде двойного неравенства. Например, систему неравенств

можно записать в виде двойного неравенства

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если ставится задача найти множество таких решений, каждое из которых является решением хотя бы одного из этих неравенств.

Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств, образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство, называется решением совокупности неравенств.

Множество решений совокупности неравенств есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность. Неравенства, образующие совокупность, иногда объединяются квадратной скобкой. Так, запись

означает, что неравенства образуют совокупность.

Пример 1. Решить систему неравенств:

С помощью числовой прямой находим, что пересечением этих множеств служит интервал

. Это и есть множество решений данной системы.

Пример 2. Решить совокупность неравенств:

Преобразовав каждое из неравенств, получим совокупность, равносильную данной

Объединением этих множеств служит промежуток

, который и является решением совокупности неравенств.

6. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

Известно, что пара действительных чисел (х0; у0) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изображать множество решений неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.

Пример 1. Дать геометрическую интерпретацию решения неравенства

Преобразуем данное неравенство к виду

Построим в прямоугольной системе координат прямую

Так как ордината любой точки, лежащей выше прямой

, больше, чем ордината точки, лежащей на прямой и имеющей такую же абсциссу, то множество точек плоскости, расположенных выше этой прямой и служит геометрической интерпретацией решения заданного неравенства.