Последняя договорённость очень важна. Если рассматривать смысл высказываний, то работать с ними будет слишком сложно, так как смысл очень неопределённое понятие. А если мы решим, что важна только истинность высказывания, то проблема значительно упрощается. В этом случае совершенно неважно о чём говорится в высказывании. Отпадает необходимость обозначать высказывание целым предложением, раскрывающим его смысл. Для обозначения вполне достаточно будет одной буквы. Разные высказывания будем обозначать разными буквами. Окончательно объектами нашей математики будут переменные величины обозначаемые буквами или комбинациями букв и имеющие только два значения : Истина и Ложь.
Операции : Операции над высказываниями, это операции над буквенными переменными и могущие принимать в качестве результата только два значения. Далее мы будем называть такие операции логическими.
Итак - логическая операция, это операция которая устанавливает соответствие между одним или несколькими высказываниями ( которые называются аргументами операции ) и высказыванием которое называется значением операции.
Как можно составить логическую операцию? Очень просто. Приведем пример. Пусть дано высказывание А. Оно может быть либо истинно, либо ложно. Определим высказывание В следующим образом: пусть В истинно когда А ложно и ложно когда А истинно. Мы только что установили соответствие между высказыванием А и высказыванием В. Другими словами мы составили логическую операцию, аргументом которой является высказывание А и результатом высказывание В. Операция определённая таким образом называется отрицанием и записывается так - ùА. Еще говорят так - “не А”
Определим еще четыре логические операции:
Коньюкция. Это логическая операция устанавливающая соответствие между высказываниями А и В и высказыванием С следующим образом: Если А и В истинны то С также истинно. Если же хотя бы одно из них ложно то С также ложно. Обозначение: АÙВ. Можно сказать так “ А и В “ и еще эту операцию называют логическим умножением.
Дизьюкция. Это логическая операция устанавливающая соответствие между высказываниями А и В и высказыванием С следующим образом: Если А и В ложны то С также ложно. Если же хотя бы одно из высказываний А и В истинно то С также истинно. Обозначение: АÚВ. Можно сказать так “ А или В ” и еще эту операцию называют логическим умножением.
Эквиваленция. Это логическая операция устанавливающая соответствие между высказываниями А и В и высказыванием С следующим образом: Если А и В одновременно ложны или же истинны то С истинно иначе С ложно. Обозначение: А=В
Импликация. Это логическая операция устанавливающая соответствие между высказываниями А и В и высказыванием С следующим образом: Пусть А посылка и В следствие, тогда:
если А ложно то С истинно ( то есть из ложного утверждения может следовать все что угодно)
если А истинно и В истинно то С истинно ( из истинного утверждения можно вывести истинное )
если А истинно и В ложно то С ложно ( из истинного утверждения не может следовать ложное )
Обозначение : А®В
Импликация устроена немного сложнее других операций. В импликации существенное значение имеет порядок аргументов. Первый называется посылкой, а второй следствием. Можно сказать, что первое высказывание является как бы причиной второго, а второе как бы вытекает из первого.
Приведенные выше определения можно свести в таблицу, которая называется таблицей истинности.
| А | В | не А | А или В | А и В | А следует В | А эквив. В |
| Истина | Истина | ложь | истина | Истина | Истина | истина |
| Истина | Ложь | ложь | истина | ложь | Ложь | ложь |
| Ложь | Истина | истина | истина | ложь | Истина | ложь |
| Ложь | Ложь | истина | ложь | ложь | Истина | истина |
Сложное высказывание
Сложным высказыванием называется высказывание, полученное комбинацией элементарных высказываний, логических функций и скобок. Для сложного высказывания также можно составить таблицу истинности. Приведём пример: Составим таблицу истинности для следующего высказывания: (АÚВ)®А
| А | В | АÚВ | (АÚВ)®А |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
Составьте для тренировки таблицы истинности следующих сложных высказываний:
| АÚ(АÚùВ) | А®(ВÙА) |
| (ВÚА)®А | А®(ВÚВ) |
| ù(АÚù(В®А)) | (ùВÚА)®(ВÚА) |
| ù(В®А)®(АÙВ) | В®(ù(В®А)®(ùА®В)) |
Схема умозаключения
Обычно, мы принимаемся строить цепочки логических умозаключений, для того чтобы установить истинность или ложность того или иного утверждения. Можно даже сказать, что нас всегда интересует истинность. Если мы же нам требуется установить ложность утверждения, то это то же самое что устанавливать истинность его отрицания. Иначе говоря, наш мыслительный процесс всегда направлен на получение доказательств теорем каждая из которых строится по следующей схеме: Дано некоторое количество истинных посылок и некоторое утверждение являющееся следствием из них. Теорема говорит, что данное утверждение также истинно, на том основании, что оно является следствием из истинных посылок.
Теорема в общем случае это не обязательно теорема математики. По такой схеме строится и наше бытовое мышление. От математики оно отличается только уровнем строгости. Выше мы уже говорили, что цель математической логики заключается в установлении взаимосвязи между посылками и заключением и теперь пора рассмотреть как это делается.
Для начала определим два важных понятия:
Тождественно истинное высказывание. Это высказывание, которое является истинным при любых значениях составляющих его элементарных высказываний.
Схема умозаключения. Схема умозаключения, это способ получения тождественно-истинных высказываний. Схема утверждает что если высказывание А истинно и истинна импликация А®В, то высказывания В также является истинным (это ясно из определения импликации). Таким образом, если мы найдём способ проверить истинность посылки и импликации, истинность следствия получается автоматически.
Тождественно - истинные высказывания получаются следующим образом: Определяется некоторое количество сложных тождественно - истинных высказываний. Такие высказывания в математике называются аксиомами. Затем составляется очевидная схема умозаключения. Затем над правой частью этой схемы производятся тождественные преобразования приводящие к появлению новых высказываний, которые согласно определению схемы умозаключения также являются истинными.
Нетрудно заметить, что схема умозаключения этой строгая форма дедуктивного метода. Поэтому на примере схемы умозаключения, мы можем показать достоинства и слабости математической логики.
Обычный дедуктивный метод мышления, применим в самых разных ситуациях, чего нельзя сказать о схеме умозаключения математической логики. Она применима только тогда, когда объекты мыслительных операций укладываются в определения понятий математической логики.
С другой стороны, те результаты, которые мы получаем, методами математической логики являются абсолютно точными, в то время как обычный дедуктивный метод, например в бытовой ситуации даёт результат, лишь с некоторой долей уверенности.
Заключение
Наше изложение математической логики было очень кратким, но все же достаточным, чтобы думающий читатель усомнился в её способности вычислять истину. И действительно, такая задача ей не решается, по всей видимости эта задаче неразрешима в принципе, потому что зачастую человеку приходится решать задачи и проблемы, в которых понятия расплывчаты и зачастую нет самого понятия правильного решения. Такова например ситуация в искусстве, в философии и т.д. Однако есть области в которых основные понятия можно определить исключительно точно, и вот там математическая логика и находит своё применение.
Еще несколько вопросов для самостоятельной работы.
Приведите пример дедуктивного рассуждения.
Приведите пример проблемы или задачи, которую невозможно разрешить отказавшись от закона исключенного третьего.
Предположим, вам дана некая математическая задача, как бы вы определили, применимы или нет к ней методы математической логики.
Приведите пример класса задач, не решаемых с помощью метода приведения к противоречию.
Можно ли сказать, доказательство теорем методом от противного есть частный случай метода приведения к противоречию. Ответ обязательно обоснуйте.