Потопахин Виталий Валерьевич, методист ХКЦТТ
Искусство логического мышления
В процессе всей своей деятельности, человеку приходится разрешать различные проблемы и задачи. Самая суть нашего мыслительного процесса заключается в поиске решений. И конечно хотелось бы находить нужные решения, по возможности быстро. Однако очень часто наши рассуждения идут в неверном направлении, и мы приходим к ошибочному выводу. Приходится возвращаться к тому, с чего начинали и искать решение в другом направлении. Наш ум берясь за задачу видит сразу много путей для рассуждения, из которых большинство ошибочны, но ум об этом не знает и проверяет их все, пока не наткнётся на верный. Конечно, есть люди, обладающие настолько сильной интуицией, что они видят правильное направление рассуждений сразу. Однако интуиция, средство не вполне надёжное. Когда мы принимаем решение интуитивно, всегда остаётся ощущение неуверенности. Поэтому ещё древние мыслители пришли к идее, что неплохо бы правильный ход рассуждений вычислять. Изобрести бы что-то вроде формул, в которых вместо чисел использовались бы рассуждения. Идея очень хорошая, и её пытались реализовать многие философы и математики. В полной мере это на сегодня не удалось. Однако удалось установить, что правильный ход рассуждений подчиняется определённым законам, знание которых помогает значительно сократить путь к истине. Кроме того, существуют методы ведения рассуждений, используя которые мы можем мыслить более эффективно. Постепенно образовалась наука ( называемая логикой ) целью которой было открытие законов правильного мышления и разработка методов мышления.
Любая наука, начинается с точного определения понятий с которыми она имеет дело.
Определим основные понятия и мы:
Посылка - это утверждение, из которого мы исходим в своих рассуждениях.
Следствие - это утверждение являющееся результатом наших рассуждений.
Умозаключение - это мыслительный процесс, в котором из одного или нескольких суждений, делается заключение.
Гипотеза - это утверждение, истинность которого требуется доказать.
Противоречие - это ситуация, когда в процессе наших рассуждений получились два взаимоисключающих утверждения.
Суждение - это единица мышления.
Основные законы:
Закон тождества. Всякий предмет, есть то, что он есть. Что это означает: Если мы, в своих рассуждениях, используем какое - либо понятие, то на любом этапе рассуждений, это понятие должно означать одно и тоже. Иногда за соблюдением закона тождества надо специально следить. Например, при использовании многозначных слов. Нарушение закона может завести в тупик. К примеру, понятием энергии часто обозначаются совершенно разные явления. Например, физическая энергия и психическая энергия. Если мы опустим, тот факт, что это два разных явления, то законы, которым подчиняется физическая энергия, можно будет автоматически переносить на явления связанные с проявлением психической энергии, что и будет ошибкой. Приведём более простой пример: Предположим, вы изучили правила дорожного движения принятые в России. Закон тождества говорит, что правила принятые в России, это совсем не те правила, которые приняты во Франции. Если же вы пренебрежёте законом тождества, то будучи во Франции вы рискуете попасть в аварию.
Закон противоречия. Ход рассуждений не должен быть противоречивым. На этом законе основан метод доказательства утверждений, так называемый метод "От противного". Применение метода рассматривается ниже в задачах о принцессах. Суть его заключается в следующем правиле. В начале рассуждений, мы принимаем некоторое утверждение за истину. Если мы будем рассуждать, не нарушая правила и законы логики, то на любом шаге наших рассуждений должны получаться только истинные утверждения. Если же мы когда либо получим ложное утверждение, то это будет означать, что исходное утверждение не может быть истинным.
Закон исключенного третьего. Если есть два суждения и одно исключает другое, то одно из них истина, а другое ложь. В реальной жизни это не всегда так. Приведём пример: Первое утверждение "Я пользуюсь методами математической логики каждый день моей жизни.", второе утверждение "Я никогда не пользуюсь методами математической логики". Очевидно, что они противоречат друг другу, однако они вполне могут оказаться одновременно ложными. Например, если вы специалист по математической логике, то вы должны часто пользоваться её методами, но вряд ли они нужны вам каждый день вашей жизни. Закон исключенного третьего предназначен для использовании в области точных наук, в которых такие ситуации не встречаются или встречаются достаточно редко.
Закон достаточного основания. Любое утверждение должно быть обосновано. Закон кажется очевидным. Совершенно естественно, что каждое утверждение должно быть или аксиомой или выводится из утверждения, истинность которого не вызывает сомнений. Однако в реальной практике мы часто делам свои заключения из утверждений, чья истинность сомнительна, или пользуемся неправильно составленными умозаключениями.
Методы мышления
Пользуясь законами, можно строить методы правильного мышления. Их существует довольно много, но мы приведём в качестве примера только два из них.
Дедукция: Это метод рассуждений, при котором некоторые истинные утверждения берутся в качестве посылок. Затем с помощью умозаключений из этих посылок получаются выводы, которые в свою очередь становятся посылками для следующих умозаключений. Получается цепочка умозаключений, в начале которой находится некоторое количество очевидных утверждений, а в конце утверждения, истинность которых уже далеко не очевидна, если не знать всей цепочки.
Очень яркий литературный пример использования дедуктивного метода это герой А. Конан-Дойля Шерлок Холмс. Конечно, применение дедукции Холмсом далеко от математической точности и строгой критики рассказы о нём не выдерживают, но суть метода в рассказах Конан-Дойля демонстрируется очень наглядно.
Метод приведения к противоречию: Существо данного метода состоит в построении такой цепочки рассуждений от исходной посылки, чтобы она привела или наоборот не привела к противоречию. Если мы получим противоречие (не нарушая законов логики), то это будет означать ложность исходной посылки. В книге Смаллиана есть масса примеров того, как используя данный метод можно решать задачи. В качестве примера приведём следующую задачу:
К королю некоего малоизвестного королевства, очень часто приезжали различные принцы свататься к принцессам, которых у того короля было довольно много. Каждого из них надо было как то проверять, а так как принцев было много, то король решил поставить процесс на поток. Он подводил принца к дверям в комнаты и предлагал открыть одну из них. Причем в комнатах он помещал тигров и принцесс. Принц должен был угадать в какой комнате принцесса. Что бы это не было простое гадание, ему выдавалась дополнительная информация, анализируя которую он мог точно узнать где принцесса, а где тигр. Приведем одну задачу с решением в качестве примера. В этом испытании на дверях комнат были следующие таблички:
| 1 Комната | 2 Комната |
| В этой комнате находится принцесса, а в другой комнате сидит тигр. | В одной из этих комнат находится принцесса; кроме того, в одной из этих комнат сидит тигр. |
Кроме того, принцу было сказано, что на одной табличке написана правда, а на другой нет.
Начнем рассуждения. Для каждой из табличек возможны только два варианта, либо ложь, либо истина. Рассмотрим с этой позиции табличку на первой комнате.
Табличка на первой двери истинна. Тогда табличка на второй двери ложна. А так как табличка на второй двери утверждает, что в одной из комнат находится принцесса, то из её ложности следует, что принцессы там нет, что приходит в противоречие с истинностью первой таблички. Таким образом, мы, предположив, что табличка на первой двери истинна пришли к противоречию.
Табличка на первой двери ложна. Тогда табличка на второй двери истинна. Из ложности первой таблички следует, что принцесса находится в комнате 2, а тигр в комнате 1. Из истинности второй табличке следует, что в одной из комнат есть принцесса и в одной из комнат есть тигр. Эти утверждения не противоречат друг другу, следовательно вторая ситуация непротиворечива и чего в свою очередь следует что принцесса находится во второй комнате.
Задача для самостоятельного решения:
| 1 Комната | 2 Комната |
| По крайней мере в одной из комнат находится принцесса | Принцесса в другой комнате. |
Дополнительно было известно следующее: Если в первой комнате находится принцесса, то утверждение на табличке истинно, если же там тигр, то утверждение ложно. Относительно правой комнаты все было наоборот: утверждение на табличке ложно, если в комнате находится принцесса, и истинно, если в комнате сидит тигр.
Математическая логика
Вышеизложенная логика хорошо описывает законы человеческого мышления, но исходной задачи "вычисления истины", она не решает. Она не может решить её в принципе, потому что в ней почти нет математики. А следовательно следующий разумный шаг, это создание теории которая описывала бы процесс мышления с математической точностью.
Как создать такую теорию?
Ответ: точно так же, как и любую другую математическую теорию. Надо предельно точно описать используемые понятия и определить над ними операции. Первым кто проделал такую работу и создал первую математическую логику был Джорж Булль. Эта математика по его имени стала называться булевой алгеброй или логикой высказываний. И сейчас мы ей займемся. Итак.
Понятия: В качестве главного понятия было взято понятие высказывания. Высказывание, это минимальная мысль, утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным.