Две замечательные теоремы планиметрии (стр. 2 из 2)

Подставив найденные отношения в приведенную выше формулу, получим:

,

зная площадь треугольника NВС (

S) находим площадь треугольника ВKМ:

Теперь легко найти SMKNC: SMKNC= SBNC-SBKM=

S- S= S.

Для самостоятельного решения можно предложить аналогичную задачу в более сложной редакции.

2. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезки, проведенные из вершины В поделили сторону АС в отношении 1:2:3 (считая от А ). Отрезки, проведенные из вершины С, поделили сторону АВ в отношении 2:3:4 ( считая от А ). Найдите площадь четырехугольника, который “вырезали” из треугольника АВС четыре данных отрезка.

Следующая задача была предложена И.Ф. Шарыгиным во втором туре олимпиады в 1995 году для решения учащимся 10-11 классов.

3. Вокруг четырехугольника АВСD можно описать окружность. Пусть прямые АВ и СD пересекаются в точке М, а прямые ВС и АD в точке K (точки В и D лежат на отрезках АМ и АK соответственно). Пусть Р- проекция точки М на прямую АМ. Докажите, что прямая LР делит диагональ ВD пополам.

Решение: Совершенно естественным будет рассмотреть треугольник АDВ и

М

В

L Q С

А Д К Р

рисунок 4

прямую LQ(P). Запишем теорему Менелая:

Напомним, что

РА+РC=РВ+ РD =180°.

Выразим отрезки АL и LD через перпендикуляр KL: АL=KLЧctgРD. Отсюда

Теперь выразим отрезки ВР и РА через МР: BP=MPЧctgРA (из D AMP),

BP=MPЧctgРMBP=MPЧctg(180°-РB)=MPЧctgРD (из D MBP).

Отсюда

рисунок 5

Подставив найденные отношения в полученную выше формулу имеем:

откуда

что и требовалось доказать.

(Авторское решение построено на рассмотрении групп подобных треугольников).

В заключение вниманию читателей представляется задача, предложенная в этом году на краевой олимпиаде.

4. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок АF пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что ВF=FЕ.

Решение: запишем теорему Менелая для треугольника САF и прямой DЕ(В):

т.к. СD=DА и АЕ=ВС, то получаем: FВ:ЕF=1 или FВ=ЕF. Что и требовалось доказать.