Проблема иррациональных чисел (стр. 1 из 2)
А.И. Сомсиков
Проблема иррациональности впервые обнаружена в геометрии при извлечении корня. Она известна еще в эпоху “античности”, связываемую с именем Пифагора.
Выявленное логическое противоречие состоит в следующем. С одной стороны имеется доказательство того, что все точки на прямой являются целыми или дробными, т.е. “рациональными” числами.
Это доказательство таково.
Берется отрезок прямой с координатами его концов 0 и 1. Обе эти координаты являются целыми числами.
Отрезок делится пополам и рассматриваются каждый из вновь полученных отрезков.
Концы этих отрезков имеют координаты 0 и 0,5 или 0,5 и 1, являющиеся целыми или дробными, т.е. “рациональными” числами.
Продолжается повторное разбиение пополам, сближающее края последующих отрезков при их сохранении каждый раз заведомо рациональными числами.
В пределе, при бесконечном разбиении, края отрезков сливаются в точку, оставаясь при этом рациональными числами.
Логический вывод гласит, что исходный отрезок оказывается заполненным одними лишь рациональными числами, иными словами ни для какой "иррациональности" места не остается.
Другое доказательство наоборот приводит к тому, что некоторые точки на прямой не могут быть заданы ни целыми, ни дробными числами, т.е. не являются рациональными.
Это доказательство таково: берется равнобедренный прямоугольный треугольник с длиной каждого катета равной 1. Согласно теореме Пифагора длина гипотенузы при этом составляет
. Это не может быть ни целым числом, ни несократимой дробью 
, поскольку в этом случае a2 = 2b2. Следовательно, a есть четное число представимое как a = 2k. Но тогда a2=(2k)2=4k2=2b2. А значит и b2 = 2k2, т.е. b – тоже четное число. Получаем логическое противоречие: с одной стороны дробь должна быть несократима (в противном случае ее можно сократить на общий множитель), с другой же стороны обе ее части a и b - четные числа, т.е. имеют общий множитель 2, а значит, дробь является сократимой.Итак, первому логически не противоречивому доказательству противостоит второе - логически противоречивое доказательство.
Поскольку первое доказательство не содержит логического противоречия, оно не может вызывать никаких сомнений и должно считаться безусловно верным.
Второе же доказательство напротив содержит внутри себя логическое противоречие. А значит, во-первых, оно ни в коем случае не может служить опровержением первого - логически непротиворечивого доказательства. И, во-вторых, именно оно, как содержащее внутри себя логическое противоречие, должно считаться крайне сомнительным и требующим дополнительного рассмотрения.
Предлагаемое рассмотрение таково.
Прежде всего, что означает это приравнивание длины катетов числу 1? А вот что: это значит, что оба катета измерены с помощью некоторого эталона, и что результат этого измерения равен единице. Естественный вопрос для любого измерения: с какой точностью? Ответ такой: при измерении любым эталоном абсолютная погрешность измерения равна самому эталону, а точность измерения, определяется отношением абсолютной погрешности (величины эталона) к самой измеряемой величине - относительной погрешностью.
Величина эталона относительно себя самой равна единице с бесконечной степенью точности, что может быть выражено в виде десятичной дроби: э =1,(0). А вот величины обоих катетов а и b, измеренных таким эталоном должны выглядеть так: а =1
= 1 
, b =1 
= 1 , где э – величина эталона.В данном случае получим: абсолютная погрешность
, 
, a = 1 1, b =1 1. А относительная погрешность, определяющая точность каждого измерения, равна соответственно 
a(%) = 
и 
.И даже если принять в качестве эталона один из катетов, например, а, что означает
a(%) = 0,(0), т.е. бесконечную точность его измерений и равенства нулю его относительной погрешности, то все равно относительная погрешность измерения второго катета останется 
100%.Вот что означает на практике это небрежное брошенное условие равенства единице длин обоих катетов.
И что мы получим при измерении гипотенузы таким эталоном э?
Вариантов ответа два: с = 1
или с = 
.В первом случае погрешность измерения гипотенузы равна 100%, как и в случае катета, а во втором случае – 50%. Ясно, что второй ответ более точен, хотя тоже не очень хорош.
Что мы теперь имеем по теореме Пифагора? Катеты равны 1
1, т.е. их можно считать равными 1 или 2, а гипотенуза и вовсе может быть равной 1 или 2, или даже 3. Причем каждый из этих ответов по-своему верен с известной степенью точности.Но в то же время 12+12
12 или 22 и уж тем более 32.И второй возможный вариант тоже дает: 22+22
12 или 22 или 32.И даже принятие в качестве эталона одного из катетов тоже дает: 12+22
12 или 22, или 32. Другими словами требуемое равенство не достигается ни при каком варианте таких измерений.Точность повышается при уменьшении величины эталона э, например, в 10 раз.
В этом случае а = 10
1, b = 10 1, c = 14 1, a = 10%, b = 10%, c = 
=7%.Или в 100 раз, когда а = 100
1, b = 100 1, c = 141 1, a = 1%, b = 1%, c = 
=0,7%, и т.д.При этом однако все еще остается: а2+b2
c2, т.е. теорема Пифагора по-прежнему не выполняется.Это достигается только при бесконечной точности измерений, когда величина эталона э = 0,(0), а = 10000…=
, 
b = 10000…= , c = 14142135623730950488016887242097141…= ,Или при выражении через исходный эталон э: а = 1,(0), и b = 1,(0), c = 1,4142135623730950488016887242097141…
В этом и только в этом случае теорема Пифагора справедлива, принимая однако вид: а2 + b2 = c2
.В обычном понимании это может выглядеть сложновато, однако уже не содержит более никакого логического противоречия.
И что же все это значит?
А вот что: теорема Пифагора, как и вообще все теоремы геометрии без всякого исключения справедливы при условии выполнения еще одной теоремы.
Ввиду ее всеобщности и исключительной важности, она может быть названа Великой Геометрической Теоремой (ВГТ).
Ее содержание таково: все геометрические теоремы верны при одном обязательном условии - бесконечной точности измерений.
А значит, в рассматриваемом нами частном случае никаких таких целых чисел 1 обоих катетов нет и быть не может, а может быть только лишь бесконечная десятичная дробь вида: а = 1,(0), и b =1,(0).