Задачи графических преобразований в приложениях моделирования с использованием ЭВМ (стр. 4 из 4)

Рис. 11

Направляющий вектор прямой L’ определяется просто – он равен

(0, m, n).

Отсюда сразу же вытекает, что

cos y = n / d, sin y = m / d, (4.10)

где

d = m² + n²(4.11)

Соответствующая матрица вращения имеет следующий вид:

1 0 0 0

0 n/d m/d 0

0 -m/d n/d 0

0 0 0 1

Под действием преобразования, описываемого этой матрицей, координаты вектора (l, m, n) изменятся. Подсчитав их, в результате получим

(l, m, n, 1)[ R_x ] = (l, 0, d, 1). (4.13)

2-й поворот вокруг оси оси ординат на угол q, определяемый соотношениями

сos q = l, sin q = -d (4.14)

Cоответствующая матрица вращения записывается в следующем виде:

l 0 d 0

0 1 0 0

-d 0 l 0

0 0 0 1

3-й шаг. Вращение вокруг прямой L на заданный угол j.

Так ка теперь прямая L совпадает с осью аппликат, то соответствующая матрица имеет следующий вид:

cos j sin j 0 0

-sin

j cos j 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

4-й шаг. Поворот вокруг оси ординат на угол -q.

5-й шаг. Поворот вокруг оси абсцисс на угол -y.

Однако вращение в пространстве некоммутативно. Поэтому порядок, в котором проводятся вращения, является весьма существенным.

6-й шаг. Перенос на вектор А (a, b, c).

Перемножив найденные матрицы в порядке их построения, получим следующую матрицу:

[ T ][ R_x ][ R_y ][ R_z ][ R_y ]^-1[ R_x ]^-1 [ T ]^-1.

Выпишем окончательный результат, считая для простоты, что ось вращения ходит через начальную точку.

l² + cos j(1 – l²) l(1 – cos j)m + n sin j l(1 – cos j)n – m sin j 0

l(1 – cos j)m – n sin j m² + cos j(1 – m²) m(1 – cos j)n + lsin j 0

l(1 – cos j)n + m sin j m(1 – cos j)n – lsin j n² + cos j(1 - n²) 0

0 0 0 1

Рассматривая примеры подобного рода, мы будем получать в результате невырожденные матрицы вида

a₁ a₂ a₃ 0

b₁ b₂ b₃ 0

g₁ g₂ g₃ 0

l m n 1

При помощи таких матриц можно преобразовать любые плоские и пространственные фигуры.

Пример 4. Требуется подвергнуть заданному аффинному преобразованию выпуклый многогранник.

Для этого сначала по геометрическому описанию отображения находим его матрицу [ A ]. Замечая далее, что произвольный выпуклый многогранник однозначно задается набором всех своих вершин

V_i ( x_i, y_i, z_i), i = 1,…,n,

Строим матрицу

x₁ y₁ z₁ 1

V = . . . . . . . . . . (4.18)

x_n y_n z_n 1

Подвергая этот набор преобразованию, описываемому найденной невырожденной матрицей четвертого порядка, [ V ][ A ], мы получаем набор вершин нового выпуклого многогранника – образа исходного (рис. 12).

Рис. 11

5. Заключение

Учитывая вышеописанные принципы, была разработана программа моделирования синтеза металлорежущих станков, которая наглядно показывает зависимость компоновки станка от формы обрабатываемой поверхности через код компоновки, а также возможность построения модели станка из стандартных узлов для последующей оценки компоновки. В виду того, что данная программа разрабатывалась как исследование, в ней лишь наглядно демонстрируется модель станка для обработки произвольной поверхности.

Программа построена на основе принципов объектно-ориентированного программирования (ООП). Такой подход был признан оптимальным для данной задачи с учетом того, что модель станка строится на основе компоновочного кода. При реализации сначала была рассмотрена цепочка узлов, представляющая станок. Это привело к трудностям и неудобству реализации отображения 3-х мерной модели в эмулированном графическом пространстве. Поэтому была реализована концепция, рассматривающая станок, как “дерево” объектов, исходя из того, что один из узлов станка, а именно станина, является неподвижным и зафиксированным жесткой привязкой к системе координат. Таким образом, полученная модель представляла собой объект, из которого выходили две “ветви” объектов.

Принципы ООП позволили создать базовый класс, из которого были получены дочерние классы для станины и остальных узлов. Каждый объект инкапсулировал свои свойства и “видел” лишь свои геометрические размеры и координаты, в которые он должен быть помещен, в результате чего модель получилась гибкой.

6. Список используемой литературы.

1. Шишкин Е. В., Боресков А. В. Компьютерная графика. М.: Диалог-МИФИ, 1995. – 288 с., ил.

2. Вайсберг А. В., Гриценко М. Е. Формирование структуры станка на ранних стадиях проектирования. – Точность автоматизированных производств (ТАП – 97). Сборник статей международной научно-технической конференции. Пенза, 1997., с. 52 – 53.