Алгебраические расширения полей (стр. 2 из 6)

Теорема 2.2. Любое конечное расширение F поля P является алгебраическим над P.

Доказательство. Пусть n-размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из F линейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, a, ..., aⁿ, т. е. существуют в P такие элементы с₀, с_1,…,c_n не все равные нулю, что с₀×1+ с_1a+…+c_naⁿ= 0.

Следовательно, элемент a является алгебраическим над P.

Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

2.2. Составное алгебраическое расширение поля.

Расширение F поля P называется составным, если существует

возрастающая цепочка подполей Li поля F такая, что

P = L₀—L₁—…—L_k= Fи k>1.

Теорема 2.3. Пусть F — конечное расширение поля Lи L — конечное расширение поля P. Тогда Fявляется конечным расширением поля Pи

[F : P] = [F : L]@[ L : P].

Доказательство. Пусть

(1) a₁,…,a_m — базис поля L над P (как векторного пространства) и

(2) b₁,…,b_n— базис поля F над L . Любой элемент dиз F можно линейно выразить через базис:

(3) d = l₁b₁+...+l_nb_n(l_k0L).

Коэффициенты 1_k можно линейно выразить через базис (1):

(4) l_k = p_1ka +…+ p_mka_m (p_ik0P).

Подставляя выражения для коэффициентов l_k в (3), получаем

d = å p_ika_ib_k.

^i0{1,…,m}

^k0{1,…,n}

Таким образом, каждый элемент поля Fпредставим в виде линейной комбинации элементов множества B, где

B = { a_ib_k½{1,..., m}, k0 {l,..., n}}.

Отметим, что множество B состоит из nm элементов.

Покажем, что B есть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества B линейно независима. Пусть

(5) åc_ika_ib_k = 0,

^I,k

где c_ik0P. Так как система (2) линейно независима над L , то из (5) следуют равенства

(6) с_1ka ₁+...+с_mka_m = 0 (k = 1,..., n).

Поскольку элементы a ₁, ..., a_m линейно независимы над P, то из (6) следуют равенства

c_1k = 0,…,c_mk = 0 (k = 1, ..., n),

показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов B линейно независима и является базисом F над P.

Итак установлено, что [F , P] = nm = [F: L]×[L: P]. Следовательно, F является конечным расширением поля P и имеет место формула (I).

Определение. Расширение F поля P называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля P

P = L₀—L₁—…—L_k= Fи k>1 (1)

такая, что при i = 1,..., k поле L_i является простым алгебраическим расширением поля L_i-1.Число k называется длиной цепочки (1).

Следствие 2.4. Составное алгебраическое расширение Fполя P является конечным расширением поля P.

Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3.

Теорема 2.5. Пусть a₁,..., a_k — алгебраические над полем P элементы поля F . Тогда поле P(a₁,..., a_k) является конечным расширением поля P.

Доказательство. Пусть

L ₀ = P, L ₁ = P [a₁], L ₂= P [a₁, a₂,],..., L_k = P [a₁ ,..., a_k].

Тогда L₁ = P [a₁] есть простое алгебраическое расширение поля L₀; L₂ есть простое алгебраическое расширение поля L₁ , так как

L₂ = P [a₁,a₂] = (P [a₁])[a₂] = L₁[a₂] = L₁(a₂) и т. д.

Таким образом,

P = L₀—L₁—…—L_k= F

где L_i = L_i-1(a_i) при i = 1, ..., k, т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки. Итак, поле F является составным алгебраическим расширением поля P. Следовательно, в силу следствия 2.4 поле Fявляется конечным расширением поля P .

Следствие 2.6. Составное алгебраическое расширение поля является алгебраическим расширением этого поля.

2.3. Простота составного алгебраического расширения поля.

Теорема 2.7. Пусть числовое поле F есть составное алгебраическое расширение поля P . Тогда F является простым алгебраическим расширением поля P.

Доказательство. Пусть P—L—F , причем L = P(a), F = L(b) и, следовательно, F = P(a, b).

Пусть f и g — минимальные полиномы над P соответственно для чисел a и b и degf = m, degg = n. Полиномы f и g неприводимы над P и, следовательно, не имеют в поле E комплексных чисел кратных корней. Пусть

a = a₁ ,..., a_m — корни полинома f в C и

b = b₁ ,..., b_n— корни полинома g в C.

Рассмотрим конечное множество М:

M = {(a_i-a)/(b-b_k)½i0{1,…,m}, k0{2,…,n}}.

Поскольку P— числовое множество (и, значит, бесконечное), то в P существует число c, отличное от элементов множества М, c0P(М, cóМ. Пусть

(1) g = a + cb.

Тогда выполняются соотношения

(2) g¹a_i +cb_k= (i0{1,..., m}, k0{2, ..., n}).

В самом деле, в случае равенства a +сb = a_i+сb_k было бы

с = (a_i-a)/(b-b_k) 0M

что противоречило бы выбору числа c.

Пусть F₁ = P (g) и F₁ — кольцо полиномов от x. Пусть h = f(g - cx) — полином из F₁[x] (g, c0P(g) = F₁). Покажем, что x-b есть наибольший общий делитель полиномов h и g в кольце F₁[x]. Так как g(b) = 0, то x-b делит g в E[x]. Далее, в силу (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Поэтому x-b делит полином h в E[x]. Таким образом, x-b есть общий делитель h и g в кольце E[x].

Докажем, что g и h в С не имеет корней, отличных от b. В самом деле, допустим, что b_k, k0{2 ,..., n}, есть их общий корень. Тогда h(b_k) = f(g - сb_k) = 0. Следовательно, найдется такой индекс i0{1 ,..., m}, что g = a_i+cb_k(k>1), а это противоречит (2). На основании этого заключаем, что x-b есть наибольший общий делитель g и h в E[x]. Поскольку x - b — нормированный полином, то отсюда следует, что x - b является наибольшим общим делителем g и h в кольце F₁[x]. Поэтому

(x-b) 0F₁[x] и b0F₁ = P(g).

Кроме того, a = g - cb0F₁. Таким образом,

F = P(a, b)ÌF₁, F₁ÌF.

Следовательно, F = P(g). Далее, так как g (как и всякий элемент из F) есть алгебраический элемент над Pи F= P (g), то поле F= P (g) является искомым простым алгебраическим расширением поля P.

2.4. Поле алгебраических чисел.

В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важных является поле алгебраических чисел.

Определение. Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем полинома положительной степени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраическое число есть любое комплексное число, алгебраическое над полем Q. В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

Теорема 2.8. Множество A всех алгебраических чисел замкнуто в кольце E = +С, +, —, •, 1, комплексных чисел. Алгебра A = +А, +, —, •, 1, является полем, подполем поля E.

Доказательство. Пусть a и b — любые элементы из А. По следствию 2.6, поле Q(a, b) является алгебраическим над Q. Поэтому числа a+b, -а, ab, 1 являются алгебраическими, т. е. принадлежат множеству A. Таким образом, множество А замкнуто относительно главных операций кольца E. Поэтому алгебра A — подкольцо кольца E — является кольцом.

Кроме того, если a —ненулевой элемент из А, то a^-10Q (a, b) и поэтому а^-1 принадлежит А. Следовательно, алгебра A есть поле, подполе поля E.

Определение. Поле A = +А, +, —, •, 1, называется полем алгебраических чисел.

Пример.

Показать, что число a=

является алгебраическим.

Решение. Из a=

следует a- .

Возведем обе части последнего равенства в третью степень:

a³-3a²

9a-3 =2

или

a³ +9a-2=3

(a²+1).

Теперь обе части равенства возводим во вторую степень:

a⁶+18a⁴+81a²-4a³-36a+4=27a⁴+54a²+27

или

a⁶-9a⁴-4a³+27a²-36a-23=0.

Таким образом a является корнем многочлена

f(x)= a⁶-9a⁴-4a³+27a²-36a-23=0

с рациональными коэффициентами. Это значит что a — алгебраическое число.

2.5. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел.

Теорема 2.9. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.

Доказательство. Пусть A [x] — кольцо полиномов от x над полем A алгебраических чисел. Пусть

f = а₀ + а₁x+... + а_nхⁿ (а₀ ,…, а_n 0A)

— любой полином положительной степени из A[x]. Нам надо доказать, что f имеет корень в А. Так как f0C[x] и поле E алгебраически замкнуто, то f имеет корень в E т. е. существует такое комплексное число с, что f(с) = 0. Пусть L= Q(а₀, ..., а_n) и L (с) — простое алгебраическое расширение поля Lс помощью с. Тогда Q—L—L (c) есть конечное алгебраическое расширение поля L. По теореме 2.2, Lесть конечное расширение поля Q. В силу теоремы 2.3 L (с) является конечным расширением поля Q. Отсюда, по теореме 2.2, следует, что поле L (с) является алгебраическим расширением поля Q и, значит, c0A. Таким образом, любой полином из A[x] положительной степени имеет в A корень, т. е. поле A алгебраически замкнуто.

3. Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Пусть D — поле.

Выясним, может ли неразложимый в D[x] многочлен обладать кратными корнями?

Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочлены f(x) и fN(x) должны иметь общий отличный от константы множитель, который можно вычислить уже в D[x]. Если многочлен f(x) неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степени f(x) не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенство f '(x) = 0.