Алгебраические расширения полей (стр. 1 из 6)

Введение.

В педагогических вузах введена программа единого курса алгебры и теории чисел. Главная цель этого курса—изучение основных алгебраических систем и воспитание алгебраической культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания целей и задач как основного школьного курса математики, так и школьных факультативных курсов.

На наш взгляд, наиболее целесообразным является введение в школьное преподавание элементов современной абстрактной алгебры.

Начавшийся в ХХ веке процесс алгебраизации математики не прекращается, а это вызывает упорные попытки введения в школьное математическое образование основных алгебраических понятий.

Математическая глубина и необычайно широкая сфера применения полей сочетаются с простотой ее основных положений – понятий полей, целый ряд важных теорем можно сформулировать и доказать, обладая начальными представлениями в области теории множеств. Поэтому теория полей как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математики.

Кроме того, изучение элементов теории поля полезно для школьников, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихся интереса к математике, к науке.

1. Простое алгебраическое расширение поля.

1.1.Простое расширение поля.

Пусть P[x] — кольцо полиномов от x над полем P, где P — подполе поля F. Напомним, что элемент a поля F называется алгебраическим над полем P, если a является корнем какого-нибудь полинома положительной степени из P [x].

Определение. Пусть P < F и a0F. Простым расширением поля Pс помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение Pс помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Пусть a0F, P [x] — кольцо полиномов от x и

P[x]={f(a)*f0P[x]},

т. е. P [a] есть множество всех выражений вида a₀ + a₁a+...+ a_naⁿ, где а₀, a_1,...a_n0P и n — любое натуральное число.

Легко видеть, что алгебра +P[a], +, —, ., 1, — подкольцо поля P (a) — является кольцом; это кольцо обозначается символом P [a].

Теорема 1.1. Пусть P [x]— кольцо полиномов от х над Pи P (a)— простое расширение поля P. Пусть y — отображение P[x] на P[a] такое, что y(f)=f(a) для любого f из P[x]. Тогда:

(а) для любого а из Р y (а) = а;

(b) y(x) = a;

(с) y является гомоморфизмом кольца P [x] на кольцо P [a];

(d) Kery ={f0P[x]*f(a)=0};

(е) фактор-кольцо P [x]/Кег y изоморфно кольцу P [a].

Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) непосредственно следуют из определения y. Отображение y сохраняет главные операции кольца P [x], так как для любых f и g из P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Далее, по условию, y есть отображение Р[х] на Р[a]. Следовательно, y является гомоморфизмом кольца P [x] на кольцо P [a].

Утверждение (d) непосредственно следует из определения отображения y.

Поскольку y — гомоморфизм кольца P [x] на P [a], то фактор-кольцо P[x]/Кег y изоморфно кольцу P [a].

Следствие 1.2. Пусть a — трансцендентный элемент над полем P. Тогда кольцо полиномов P [x] изоморфно кольцу P [a].

Доказательство. В силу трансцендентности a над PKery={0}. Поэтому P[x]/{0}–P [a]. Кроме того, фактор-кольцо кольца P [x] по нулевому идеалу изоморфно P [x]. Следовательно, P [x]–P [a].

1.2.Минимальный полином алгебраического элемента.

Пусть P [x] — кольцо полиномов над полем P.

Определение. Пусть a — алгебраический элемент над полем P. Минимальным полиномом элемента a, над P называется нормированный полином из P[x] наименьшей степени, корнем которого является a. Степень минимального полинома называется степенью элемента a над P.

Легко видеть, что для всякого элемента a, алгебраического над P , существует минимальный полином.

Предложение 1.3. Если а — алгебраический элемент над полем P, а g и j — его минимальные полиномы над P, то g=j.

Доказательство. Степени минимальных полиномов g и j совпадают. Если g¹j, то элемент a (степени n над P) будет корнем полинома g - j, степень которого меньше степени полинома j (меньше n), что невозможно. Следовательно, g=j.

Теорема 1.4. Пусть a — алгебраический элемент степени n над полем P (aóP) и g — его минимальный полином над P. Тогда:

(а) полином g неприводим в кольце P [x];

(b) если f (a) = 0, где f0P[x], то g делит f;

(с) фактор-кольцо P [x]/(g) изоморфно кольцу P [a];

(d) P [x]/(g) является полем;

(е) кольцо P [a] совпадает с полем P (a).

Доказательство. Допустим, что полином g приводим в кольце P [x], т. е. существуют в P[x] такие полиномы j и h, что

g = jh, 1£deg j, deg h<deg g = n.

Тогда g(a) = j(a)h(a) = 0. Так как P (a) — поле, то j( a) = О или h(a) = 0, что невозможно, поскольку, по условию, степень элемента a над P равна п.

Предположим, что f0 P[x] и f(a) = 0. По условию, g(a) = 0. Следовательно, f и g не могут быть взаимно простыми. Поскольку полином g неприводим, то g делит f.

Пусть j — гомоморфизм кольца P [x] на кольцо P [a] (y(f)=f(a) для всякого f из P[x]), рассмотренный в теореме 2.1. В силу (Ь) ядро гомоморфизма y состоит из кратных полинома g, т.е. Кег y = (g). Следовательно, фактор-кольцо P = P [x]/(g) изоморфно кольцу P [a].

Поскольку P[a]ÌP(a), то P [a] есть область целостности. Так как P@P[a], то фактор-кольцо P также есть область целостности. Нам надо показать, что любой ненулевой элемент f из P обратим в P. Пусть f — элемент смежного класса f. Так как f¹ 0, то f(a)¹0; поэтому полином g не делит полином f. Поскольку полином g неприводим, отсюда следует, что полиномы f и g — взаимно простые. Следовательно, в Р[x] существуют такие полиномы u и v, что uf + vg=1. Отсюда вытекает равенство uf = 1, показывающее, что элемент f обратим в кольце P. Итак, установлено, что фактор-кольцо P является полем.

В силу (с) и (d) P [a] является полем и поэтому P(a)ÌP[a]. Кроме того, очевидно, P[a]ÌP(a). Значит, P[a] = P(a). Следовательно, кольцо P [a] совпадает с полем P (a).

1.3.Строение простого алгебраического расширения поля.

Теорема 1.5. Пусть a — алгебраический над полем Pэлемент положительной степени n. Тогда любой элемент поля P(a) однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1, a, ..., a^n-1 с коэффициентами из Р.

Доказательство. Пусть b— любой элемент поля P (a). По теореме 1.4, P(a) = P[a]; следовательно, существует в P[x] полином f такой, что

(1) b = f(a).

Пусть g — минимальный полином для a над P; в силу условия теоремы его степень равна п. По теореме о делении с остатком, существуют в P[x] полиномы h и r такие, что

(2) f = gh + r, где r = 0 или derr < derg = n , т. е. r=c₀+c₁x +…c_n-1x^n-1 (c_i0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c₀+c₁a +…c_n-1a^n-1

Покажем, что элемент b однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a, ..., a^n-1. Пусть

(4) b = d₀+d₁a +…d_n-1a^n-1 (d_i0P)

—любое такое представление. Рассмотрим полином j

j = (с₀ – d₀) + (c₁ - d_i.)x + . . . + (с_n-1 –d_n-1)x^n-1

Случай, когда степень j меньше n, невозможен, так как в силу (3) и (4) j(a) = 0 и степень j меньше степени g. Возможен лишь случай, когда j = 0, т. е. с₀ = d₀, . . . , с_n-1 = d_п-1. Следовательно, элемент b однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a,…,a^n-1.

1.4.Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.

Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть a — алгебраический элемент степени n>1 над полем P; f и h — полиномы из кольца полиномов P [x]и h(a) ¹0. Требуется представить элемент f(a)/h(a)0P(a) в виде линейной комбинации степеней элемента a, т. е. в виде j(a),

где j0P[x].

Эта задача решается следующим образом. Пусть g — минимальный полином для a над P. Так как, по теореме 1.4, полином неприводим над P и h(a) ¹ 0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g — взаимно простые. Поэтому существуют в P[x] такие полиномы u и v, что

uh+vg=1 (1)

Поскольку g(a) = 0, из (1) следует, что

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Следовательно, f(a)/h(a) = f(a)u(a), причем f,u0P[x] и f(a)u(a)0P[a]. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби f(a)/h(a) .

Пример.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

.

Решение. В нашем случае a=

. Минимальным многочленом этого числа является

p(x)=x³-2.

Многочлены p(x) и g(x)=-x²+x+1 взаимно просты. Поэтому существуют такие многочлены j и y, что

pj+gy=1.

Для отыскания j и y применим алгоритм Евклида к многочленам p и g:

-x³-2 -x²+x+1 -x²+x+1 2x-1

x³-x²-x -x-1 -x²+1/2x -1/2x+1/4

x²+x-2 1/2x+1

x²-x-1 1/2x-1/4

2x-1 5/4

Таким образом,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Откуда находим

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

или

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x²+x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x²+1/5x+3/5)=1.

Таким образом,

y(x)= (2/5x²+1/5x+3/5).

Тогда

y(a)=y(

)= .

Следовательно

.

2.Составное алгебраическое расширение поля.

2.1. Конечное расширение поля.

Пусть P — подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т. е. рассматривать векторное пространство +F, +, {w_l½l0P},,

где w_l- операция умножения элементов из F на скаляр l0P.

Определение. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через [F : P].

Предложение 2.1. Если a — алгебраический элемент степени n над P, то [P (a):P]=n.

Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5.

Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P.