Численные методы (стр. 4 из 9)

арифметических действий, т.е. число действий растет линейно относительно числа неизвестных

При решении же произвольной системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусcа число действий пропорционально кубу числа неизвестных.

ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ.

Большое число задач математики и физики требует отыскания собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. отыскания таких значений +

, для которых существуют нетривиальные решения однородной системы линейных алгебраических уравнений

, (1)

и отыскания этих нетривиальных решений.

Здесь

-квадратная матрица порядка m , - неизвестный вектор - столбец.

Из курса алгебры известно, что нетривиальное решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда

, (2)

где Е - единичная матрица. Если раскрыть определитель

, ïîëó÷àåòñÿ алгебраическое уравнение степени m относительно .Таким образом задача отыскания собственных значений сводится к проблеме раскрытия определителя по степеням и последующему решению алгебраического уравнения m- й степени.

Определитель

называется характеристическим (или вековым ) определителем, а уравнение (2) называется характеристическим (или вековым ) уравнением.

Различают полную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать все собственные значения матрицы А и соответствующие собственные векторы, и частичную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать только некоторые собственные значения, например, максимальное по модулю собственное значение .

Метод Данилевского развертывание векового определителя.

Определение. Квадратная матрица Р порядка m называетсяподобной матрице А , если она представлена в виде

,

где S - невыродженная квадратная матрица порядка m.

ТЕОРЕМА. Характеристический определитель исходной и подобной матрицы совпадают .

Доказательство.

Идея метода Данилевского состоит в том, что матрица А подобным преобразованиям приводится, к так называемой нормальной форме Фробениуса

.

Характеристическое уравнение для матрицы Р имеет простой вид

т.е. коэффициенты при степенях характеристического полинома непосредственно выражаются через элементы первой строки матрицы Р.

Приведение матрицы А к нормальной форме Фробениуса Росуществляется последовательно построкам, начиная с последеней строки.

Приведем матрицу А

подобным преобразование к виду

Пусть

Можн проверить,что такой вид имеет матрица , которая равна

где

Слудующий шаг - приведение матрицы

подобным преобразованием к виду , где и вторая снизу строка имеет единицу в -ом столбце, а все остальные элементы строки равны нулю:

Если

то можно проверить, что такой вид имеет матрица :

где

Таким образом

Далее процедура аналогичная, если на кождом шаге в очередной строке, на месте которого подобным преобразованием нужно получить единицу, не равную нулю.

В этом случае ( будем называт его регулярным ) нормальная формула Фробениуса будет получена за ( m-1 ) шагов и будет иметь вид

Рассмотрим нерегулярный случай, когда матрица, полученная в результате подобных преобразований приведена уже к виду

и элемент . Таким образом обычная процедура метода Данилевского не подходит из-за необходимости деления на ноль.

В этой ситуации возможно два случая. В первом случае к-й

строке левее элемента

есть элемент

Тогда домножая матрицу слева и справа на элементарную матрицу перестановок , получаем матрицу

,

у которой по сравнению с матрицей

переставлены l -я и (k-1 )-я строка l-й и ( k-1)- й стодбец. В результате на необходимом нам месте оказывается ненулевой элемент , уже преобразованная часть матрицы не меняется, можно применять обычный шаг метода Данилевского к матрице . Она подбна матрице (и, следовательно, исходной матрице А ), т.к. елементарная матрица перестановок совпадает со своей обратной, т.е.

Рассмотрим второй нерегулярный случай, когда в матрице

ýлемент и все элементы этой строки, которые тоже находятся левее его, тоже равны нулю. В этом случае характеристический определитель матрицы можно представить в виде

где

і - единичные матрицы соответствующей размерности, а квадратные матрицы и имееют вид:

Обративм внимание на то, что матрица

уже нормальную форму Фробениуса, и поэтому сомножитель просто развертывается в виде многочлена с коэффциентами, равными элементам первой строки.

Сомножитель

, åñòü характеристический определитель матрицы . Для развертывания можн опять применять метод Данилевского, приводя матрицу подобными преобразованиями к нормальной форме Фробениуса.