Предположим теперь, что матрица А подобным преобразованиям
уже приведена к нормальной форме Фробениуса. Решая характеристическое уравнение ,находим одним из известных методов его корни
которые являются собственными значениями матрицы Р и исходной матрицы А.Теперь стоит задача отыскать собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, т.е. векторы
такие, чтоРешим ее следующим образом: найдем собственные векторы матрицы Р , а затем по определенному соотношению я пересчитаем собственные векторы матрицы А . Это соотношение дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Пусть
є есть собственное значение , а есть соответствующий собственный вектор матрицы Р , которая подобна матрице А ,т.е.Тогда
есть собственный вектор матрицы А , соответствующий собственному значениюДоказательство.Тривиально следует из того, что
Домножая левую и правую часть этого равенства слева на S,
имеем
А это и означает, что
-собственный вектор матрицы А ,отвечающий собственному значению
Íàéäåì ñîáñòâåííûé вектор матрицы Р , которая имеет нормальную форму Фробениуса и подобна матрице А. Записывая
в развернутой форме, имеемили
В этой системе одна из переменных может быть сделана свободной и ей может быть придано произвольное значение. В качестве таковой возьмем
и положимТогда последовательно находим
,т.е. искомый собственный вектор матрицы Р имеет вид
.Если процесс приведения матрицы А к форме Р был регулярным, то
 ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû А для собственного значения
будет векторТаким образом, задача вычисления собственных векторов матрицы А решена.
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ .
Пусть имеется функция
которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.
Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена
Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом.
Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах
Пусть функция задана в двух точках
и ее значенияПосстроим интерполяционный многочлен первой степени
Производная
равнаПроизводную функцию
в точке приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена (1)Величина
называется первой разностной производной.Пусть
задана в трех точкахИнтерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид
Берем производную
В точке
она равнаПолучаем приближенную формулу
(2)Величина
называется центральной разностной производной.Наконец, если взять вторую производную
получаем приближенную формулу. (3)Величина
называется второй разностной производной.Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.
Предполагая функцию
достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул (1)-(3).В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. Пусть
произвольные точки, Тогда существует такая точка чтоДоказательство. Очевидно неравенство
По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между
и Значит существует такая точка что выполняет указанное в лемме равенство.Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма.
Лемма 2.
1.Предположим, что
Тогда существует такая точка , что (4)2. Если
то существует такая точка , что