3. Когда
откуда следует (4).
Если
где
Подставим (7) в
Заменяя в соответствии с леммою 1
получаем
Откуда и следует (6).
Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).
Формулы (4)-(6) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами.
Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):
Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно
Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.
Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции
Пусть в некоторой окрестности точки
где
Минимизация по
при этом
Если при выбранном для какой-либо из формул (2), (3) значении
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ СПЛАЙНАМИ.
Интерполирование многочленом Лагранжа или Ньютона на отрезке
Одним из способов интерполяции на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций. Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке
Слово ,,сплайн’’ (английское spline) означает гибкую линейку, используемую для проведения гладких кривых через заданные точки плоскости.
Преимущество сплайнов перед обычной интерполяцией является, во-первых, их сходимость, и, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.
Рассмотрим частный, но распространенный в вычислительной практике случай, когда сплайн определяется с помощью многочленов третьей степени ( кубический сплайн).
Пусть на
и обозначим
Интерполяционным кубическим сплайном, соответствующим данной функции
а) на кождом сегменте
б) функция
в)
Последнее условие называется условием интерполирования.
Докажем существование и единственность сплайна, определяемого перечисленными условиями (плюс некоторые граничные условия, которые будут введены в процессе доказательства). Приводимое ниже доказательство содержит также способ построения сплайна.
На каждом из отрезков
где
поэтому
Из условий интерполирования
Доопределим , кроме того ,
Далее , требование непрерывности функции
Отсюда,учитывая выражения для функций