3. Когда
то существует такая, что (6) Доказательство. По формуле Тейлораоткуда следует (4).
Если
то по формуле Тейлора (7)где
Подставим (7) в
ПолучаемЗаменяя в соответствии с леммою 1
получаем
Откуда и следует (6).
Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).
Формулы (4)-(6) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами.
Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):
Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно
(или порядка ), а погрешность формул (2) и (3) имеет второй порядок относительно (или порядка ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок точности.Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.
Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции
в каждой точке удовлетворяет неравенству (8)Пусть в некоторой окрестности точки
производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны и удовлетворяют неравенствам (9)где
- некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величинМинимизация по
этих величин приводит к следующим значениям : (12)при этом
(13)Если при выбранном для какой-либо из формул (2), (3) значении
отрезок не выходит за пределы окрестности точки , в которой выполняется соответствующее неравенство (9), то найденное есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ СПЛАЙНАМИ.
Интерполирование многочленом Лагранжа или Ньютона на отрезке
с использованием большого числа узлов интерполяции часто приводит к плохому приближению, что объясняется сильным накоплением погрешностей в процессе вычислений. Кроме того из-за расходимости процесса интерполяции увеличение числа узлов не обязано приводить к повышению точности. Для того, чтобы избежать больших погрешностей, весь отрезок разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют функцию многочленом невысокой степени ( так называемая кусочно-полиномиальная интерполяция).Одним из способов интерполяции на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций. Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке
и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.Слово ,,сплайн’’ (английское spline) означает гибкую линейку, используемую для проведения гладких кривых через заданные точки плоскости.
Преимущество сплайнов перед обычной интерполяцией является, во-первых, их сходимость, и, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.
Рассмотрим частный, но распространенный в вычислительной практике случай, когда сплайн определяется с помощью многочленов третьей степени ( кубический сплайн).
Пусть на
задана непрерывная функция . Введем узлы ( сетку):и обозначим
Интерполяционным кубическим сплайном, соответствующим данной функции
и данным узлам, называеться функция , удовлетворяющая следующим усовиям:а) на кождом сегменте
функция является многочленом третьей степени;б) функция
, а так же ее первая и вторая производные непрерывны на ;в)
Последнее условие называется условием интерполирования.
Докажем существование и единственность сплайна, определяемого перечисленными условиями (плюс некоторые граничные условия, которые будут введены в процессе доказательства). Приводимое ниже доказательство содержит также способ построения сплайна.
На каждом из отрезков
будем искать функцию в виде многочлена третьей степени (1)где
- коэффициенты, подлежащие определению. Выясним смысл введенных коэффициентов. Имеемпоэтому
Из условий интерполирования
получаем, чтоДоопределим , кроме того ,
.Далее , требование непрерывности функции
приводит к условиямОтсюда,учитывая выражения для функций
получаем при уравнения Обозначая перепишем эти уравнения в виде (2)