Преобразуем теперь второе слагаемое в правой части, используя обобщенную теорему о среднем.
* Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме
Теорема 1 (обобщенная теорема о среднем). Пусть
причем на Тогда существует такая точка чтоДоказательство. Положим
(11)Тогд, так как
тои, следовательно,
Если
то и в качестве можн взять любую точку изЕсли
то вытекает существование такого числа с, удовлетворяющего неравенствам ( для этого делим все части на ): (12)что
(13)По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции в силу (11) , (12) найдется точка
, в которой что вместе с равенством (13) доказывает теорему .Теперь, так как
то по доказанной теоремоюгде
- некоторая точка . Подставляя полученное в , приходим к формуле трапеций с остаточным членом : (14)Формула Симпсона . Предположим, что
Интеграл приближенного заменяем площадью заштрихованной криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, проходящей через точки деУказанная парабола задается уравнением
в чем нетрудно убедиться, положив поочередно
(ее можно также получить, построив интерполяционный многочлен второй степени и приводя подобные ) Отсюда находи ( проверить самостоятельно)Таким образом , формула Симпсона , называемая также формулой парабол , имеет вид
(15)Положим
где -функция (4). Посколькуто согласно формул Тейлора с остаточным членом в интегральной форме имеем
Отсюда получаем (16)т.к. остальные члены взаимно уничтожаются.
Поскольку
то применяя к интегралу (16) теорему 1 , а затем к полученному результату лемму, находим (17)где
нектрые точки.Принимая во внимание, что
из (16), (17) приходим к формуле (18) т.е. к формуле Симпсона с остаточным членом.Рассмотрим квадратурные формулы прямоугольников (3), трапеций (7) и Симпсона (15) называются каноничными.
Усложненные квадратурные формулы.
На практике, если требуется вычислить приближенно интеграл (1) , обычно делят заданный отрезок
на равных частей и на кождом частичном отрезке применяют какую-либо одну каноничную квадратурную формулу, а затем суммируют полученные результаты. Построенная таким путем квадратурная формула на отрезке называется усложненной. При применении формул прямугольников и трапеций длину частичных отрезков удобно применять за , а при использовании формулы Симпсона - за .Остановимся сначала на применении формулы прямоугольников. Пусть
Обозначим частичные отрезки черезгде
В соответствии с (3) полагаем
(19)где
значение в середине частичного отрезка . При этом справедливо аналогичное (6) равенство (20) где некоторая точка.Суммирование по всем частичным отрезкам приближенного равенства (19) приводит к усложненной квадратурной формуле прямоугольников:
(21)а суммирование равенств (20) с учетом того,что по лемме
где
-некоторая точка отрезка , дает усложненную формулу прямоугольников с остаточным членом: (22) Совершенно àíàëîãè÷íî при услвии, что с использованием формул (7), (14) получается усложненная квадратурная формула трапеций (23)и отвечающая ей формула с остаточным членом
(24)где некоторая точка.
Пусть теперь
и, как обычно, Перепишем каноническую квадратурную формулу Симпсона (15) применительно к отрезку длины :