Численный расчет дифференциальных уравнений (стр. 1 из 3)

Міністерство освіти України

ДАЛПУ

Кафедра автоматизації

технологічних процесів і приладобудування

КУРСОВА РОБОТА

з курсу “Математичне моделювання на ЕОМ”

на тему “Розв’язок диференціального рівняння

виду а_пу^(п)+а_п-1у^(п-1)+…+а₁у¹+а₀у=кх при заданих

початкових умовах з автоматичним вибором кроку

методом Ейлера”

Виконала студентка групи БА-4-97

Богданова Ольга Олександрівна

Холоденко Вероніка Миколаївна

Перевірила Заргун Валентина Василівна

1998

Блок-схема алгоритма

Блок-схема алгоритма

начало

у^/=f(x,y)

y(x₀)=y₀

x₀, x₀+a

h, h/2

k:=0

x_k+1/2:=x_k+h/2

y_k+1/2:=y_k+f(x_k, y_k)h/2

α_k:=f(x_k+1/2, y_k+1/2)

x_k+1:=x_k+h

y_k+1:=y_k+α_kh

_нет k:=n

_да

x₀, y₀,

x1, y1…

x_n,y_n

конец

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Решить дифференциальное уравнение у^/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х₀, х₁…, х_n и числа у₀, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁, у₂,…, у_n, что у_i=F(x_i)(i=1,2,…, n) и F(x₀)=y₀.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции

У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

y^/=f(x,y) (1)

с начальным условием

x=x₀, y(x₀)=y₀ (2)

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х₀, х₁, х₂,…, х_n, где x_i=x₀+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х_i)»y_iвычисляются последовательно по формулам у_i+hf(x_i, y_i) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М₀(х₀, у₀), заменяется ломаной М₀М₁М₂… с вершинами М_i(x_i, y_i) (i=0,1,2,…); каждое звено М_iM_i+1этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку М_i.

Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x₀|£a, |y-y₀|£b}удовлетворяет условиям:

|f(x, y₁)- f(x, y₂)| £ N|y₁-y₂| (N=const),

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(x_n)-y_n| £ hM/2N[(1+hN)ⁿ-1], (3)

где у(х_n)-значение точного решения уравнения(1) при х=х_n, а у_n- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагомh/2. Погрешность более точного значения у_n^*оценивается формулой

|y_n-y(x_n)|»|y_n^*-y_n|.

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Модифицированный метод Эйлера более точен.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y^/=f(x,y)

с начальным условием y(x₀)=y₀. Разобьем наш участок интегрирования на n

равных частей.На малом участке [x₀,x₀+h]

_у интегральную кривую заменим прямой

N_k^/ _y=y(x) линией. Получаем точку М_к(х_к,у_к).

М_кМ_к^/

y_k+1

y_k

х_кх_к1/2x_k+h=x_k1х

Через М_к проводим касательную: у=у_к=f(x_k,y_k)(x-x_k).

Делим отрезок (х_к,х_к1) пополам:

x_Nk^/=x_k+h/2=x_k+1/2

y_Nk^/=y_k+f(x_k,y_k)h/2=y_k+y_k+1/2

Получаем точку N_k^/. В этой точке строим следующую касательную:

y(x_k+1/2)=f(x_k+1/2, y_k+1/2)=α_k

Из точки М_к проводим прямую с угловым коэффициентом α_к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Х_к1. Получаем точку М_к^/. В качестве у_к+1 принимаем ординату точки М_к^/. Тогда:

у_к+1=у_к+α_кh

x_k+1=x_k+h

(4) α_k=f(x_k+h/2, y_k+f(x_k,Y_k)h/2)

y_k=y_k-1+f(x_k-1,y_k-1)h