Оператор сдвига (стр. 2 из 8)

2. Если оператор А не непрерывен в точке 0, то в Е1 существует такая последовательность

, что Ахn не стремится к 0. При этом последовательность

ограничена, а последовательность

не ограничена. Итак, если оператор А не непрерывен, то А и не ограничен. Утверждение доказано.

Если Е и Е1 – нормированные пространства, то условие ограниченности оператора А, действующего из Е в Е1, можно сформулировать так: оператор А называется ограниченным, если он переводит любой шар в ограниченное множество.

В силу линейности оператора А это условие можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует С=const , что для любого

Е :

Определение 3. Наименьшее из чисел С, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается

Теорема 2 [1]. Для любого ограниченного оператора А , действующего из нормированного пространства в нормированное

3. Сумма и произведение линейных операторов. Пространство линейных непрерывных операторов

Определение 4. Пусть А и В – два линейных оператора, действующих из линейного топологического пространства Е в пространство Е1. Назовем их суммой А+В оператор С, ставящий в соответствие элементу

элемент у=Ах+Вх,

Можно проверить, что С=А+В – линейный оператор, непрерывный, если А и В непрерывны. Область определения DC оператора С есть пересечение

областей определения операторов А и В.

Если Е и Е1 – нормированные пространства, а операторы А и В ограничены, то С тоже ограничен, причем

(2)

Действительно, для любых х

, следовательно, выполняется неравенство (2).

Определение 5. Пусть А и В – линейные операторы, причем А действует из Е в Е1, а В действует из Е1 в Е2 . Произведением ВА операторов А и В называется оператор С, ставящий в соответствие элементу

элемент

из Е2.

Область определения DC оператора С=ВА состоит из тех х

DA , для которых Ах

DB. Ясно , что оператор С линеен. Он непрерывен, если А и В непрерывны.

Если А и В – ограниченные операторы, действующие в нормированных пространствах, то и оператор С=ВА – ограничен, причем

(3)

Действительно,

, следовательно, выполняется (3).

Сумма и произведение трех и более операторов определяются последовательно. Обе эти операции ассоциативны.

Произведение оператора А на число к (обозначается кА) определяется как оператор, который элементу х ставит в соответствие элемент кАх.

Совокупность Z(E,E1) всех непрерывных линейных операторов, определенных на всем Е и отображающих Е в Е1 ( где Е и Е1

– фиксированные линейные нормированные пространства), образует, по отношению к введенным операциям сложения и умножения на число, линейное пространство. При этом Z(E, E1) – нормированное пространстово (с тем определением нормы оператора, которое было дано выше).

4. Обратный оператор

Пусть А – линейный оператор, действующий из Е в Е1 , и DA область определения, а RA – область значений этого оператора.

Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого у

RA уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если А обратим, то любому элементу у

RA можно поставить в соответствие единственный элемент х

DA , являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к А и обозначается А-1.

Теорема 3 [1]. Оператор А-1, обратный линейному оператору А, также линеен.

Доказательство.

Достаточно проверить выполнение равенства

Положим Ах1=у1 и Ах2=у2, в силу линейности А имеем

(*)

По определению обратного оператора А-1у1=х1 и А-1у2=х2, умножим оба равенства соответственно на

С другой стороны из равенства (*) следует

, следовательно,

Теорема доказана.

Теорема 4 [3]. (Теорема Банаха об обратном операторе)

Пусть А – линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е1. Тогда обратный оператор А-1 ограничен.

Теорема 5 [3]. Пусть Е – банахово пространство, I – тождественный оператор в Е, а А – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что

. Тогда оператор (I-A)-1 существует, ограничен и представляется в виде

Доказательство.

Так как

, то ряд

сходится. А так как

для всех

, то ряд

также сходится. Пространство Е полно, значит, из сходимости ряда

вытекает, что сумма ряда

представляет собой ограниченный линейный оператор. Для любого n имеем:

, переходя к пределу и учитывая, что

, получаем

, следовательно

Теорема доказана.

5. Спектр оператора. Резольвента.

Всюду, где речь идет о спектре оператора, считаем, что оператор действует в комплексном пространстве.

В теории операторов и ее применениях первостепенную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала применительно к операторам в конечномерном пространстве.

Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еn . Число

называется собственным значением оператора А , если уравнение

имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения

– регулярными.

Иначе говоря,

есть регулярная точка, если оператор

обратим. При этом оператор

-1 , как и любой оператор в конечномерном пространстве, ограничен, поэтому в конечномерном пространстве существует две возможности:

уравнение

имеет ненулевое решение, т. е.

есть собственное значение для А , оператор

-1 при этом не существует;

существует ограниченный оператор

-1, т.е.

есть регулярная точка.