Оператор сдвига (стр. 3 из 8)

В бесконечномерном пространстве существует третья возможность:

оператор

-1 существует, т.е. уравнение имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введем следующую терминологию. Число

мы назовем регулярным для оператора А, действующего в (комплексном) линейном нормированном пространстве Е, если оператор -1 , называемый резольвентой оператора А , определен на всем Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений называется спектром оператора А . Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как если х=0 при некотором , то -1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, т.е. совокупность тех , для которых -1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, любое значение является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Теорема 6 [3]. Если А –ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве и

, то – регулярная точка.

Доказательство.

Так как, очевидно

, то . При этот ряд сходится (теорема 4), т.е. оператор имеет ограниченный обратный. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса с центром в нуле.

Теорема доказана.

Пример. В пространстве

функций, непрерывных на отрезке , рассмотрим оператор А, определяемый формулой Аx(t)=M(t)x(t) , где M(t)– фиксированная непрерывная функция. Возьмем произвольное число , тогда , а .

Спектр рассматриваемого оператора состоит из всех

, для которых Если функция M(t)- обращается в нуль при некотором t, заключенном между 0 и 1, то оператор не определен на всем пространстве , так как функция уже не обязана быть непрерывной. Если же функция M(t)- не обращается в нуль на отрезке , то функция непрерывна на этом отрезке, а, следовательно, ограничена: для некоторого при всех . Следовательно, оператор ограничен, а число – регулярное для оператора А. Таким образом, спектр оператора А есть совокупность всех значений функции M(t) на отрезке [0;1], причем собственные значения отсутствуют, т.е. оператор умножения на t представляет собой пример оператора с чисто непрерывным спектром.

Замечания

Любой ограниченный линейный оператор, определенный в комплексном банаховом пространстве, имеющем хоты бы один отличный от нуля элемент, имеет непустой спектр. Существуют операторы, у которых спектр состоит из единственной точки (оператор умножения на число).

Теорема 5 может быть уточнена следующим образом. Пусть

(можно доказать, что этот предел существует для любого ограниченного оператора А), тогда спектр оператора А целиком лежит внутри круга радиуса r с центром в нуле. Величина r называется спектральным радиусом оператора А.

Резольвентные операторы

и , отвечающие точкам и , перестановочны между собой и удовлетворяют соотношению , которое легко проверить, умножив обе части этого равенства на . Отсюда вытекает, что если – регулярная точка для А, то производная от по при = , т.е. , существует (в смысле сходимости по операторной норме) и равна .

§2. Унитарные операторы. Оператор сдвига

В этом разделе будем рассматривать пространство Н со скалярным произведением, которое является частным случаем нормированного пространства.

6. Оператор сдвига. Спектр оператора сдвига

Определение 7. Ограниченный линейный оператор U в пространстве Н называется изометрическим, если он не изменяет величины скалярного произведения:

для любых .

В этом случае, если х=у, то

, или . Значит, изометрический оператор сохраняет норму элемента, а норма самого такого оператора, как следует из определения нормы, равна 1 ( ).

Понятие изометрического оператора можно ввести также для операторов, действующих в нормированном пространстве.

Определение 8. Ограниченный линейный оператор U в нормированном пространстве Е называется изометрическим, если он не изменяет величины нормы:

для любых .

Лемма 1. Для того, чтобы линейный оператор U в пространстве Н был изометрическим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

для любых .

Доказательство. Нужно доказать только достаточность. Для этого используем тождество

. Его легко проверить, если представить левую часть в виде скалярных произведений: . Так как левая часть не изменится при замене векторов на векторы , то правая тоже не изменится, т. е. .