Оператор сдвига (стр. 4 из 8)

Определение 9. Оператор U называется унитарным, если он изометрический и имеет обратный оператор, определенный на всем пространстве Н.

Теорема 7. Спектр унитарного оператора – это множество, лежащее на единичной окружности.

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа:

Докажем, что спектр унитарного оператора U содержится в единичном круге.

Рассмотрим обратный оператор и покажем, что он тоже унитарный. Докажем, что, если

принадлежит спектру оператора U, то принадлежит спектру обратного оператора и наоборот.

Для доказательства I этапа применим теорему 4: если А – ограниченный линейный оператор в нормированном пространстве и

, то – регулярная точка. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса с центром в нуле. А норма унитарного оператора U, как было показано, равна 1 ( ). Следовательно, спектр унитарного оператора содержится в единичном круге.

Перейдем ко II этапу. Докажем, что оператор, обратный к унитарному оператору, также унитарный оператор. Покажем, что он удовлетворяет условию изометрии:

для всех . Положим Ux=y, тогда , и , т. е. для всех .

Докажем, что, если точка

является регулярной для оператора U, то точка является регулярной для обратного оператора U-1. Точка , является регулярной для оператора U, если выполняется условие:

(*).

Оператор U-1 является обратным для оператора U, значит, для них верно U-1U=I=UU-1 . Используя это, равенство (*) можно переписать:

, или

.

Используем свойство обратных операторов: оператор, обратный произведению операторов, равен произведению обратных операторов к данным, взятых в противоположном порядке, т.е. для двух операторов А и В имеем

. Тогда равенство можно переписать в виде:

.

Вычислим отдельно произведение:

.

В итоге

, т.е. является регулярной для обратного оператора U-1.

Возьмем множество точек

. Тогда точки вида лежат вне единичного круга и все являются для оператора регулярными, так как он унитарный и его норма равна 1. Но поскольку оператор - обратный к оператору , то точки, входящие в , по предыдущему рассуждению являются для него регулярными. Следовательно, спектр оператора U – это множество, лежащее на единичной окружности.

Важным примером изометрического оператора является оператор сдвига.

Определение 10. Оператор

, заданный в пространстве последовательностей, называется оператором сдвига, если он каждую последовательность вида (х1,х2,…, хn…) переводит в последовательность вида (0, х1, х2, …, хn…), т.е. выполняется равенство: (х1,х2,…, хn…)=(0, х1, х2, …, хn…).

Можно также рассматривать оператор сдвига, который действует в пространстве последовательностей, бесконечных в обе стороны. Элемент этого пространства можно представить в таком виде: (…х-2, х-1, х0, х1, х2, …).

Определение 11. Оператор

называется оператором двухстороннего сдвига, если он каждую последовательность, бесконечную в обе стороны, сдвигает вправо, т.е. выполняется равенство: .

Уточним, о каких пространствах последовательностей будет идти речь:

1) l2 – пространство односторонних последовательностей комплексных чисел с натуральной нумерацией, для которых ряд

- сходящийся. Скалярное произведение в этом пространстве определяется формулой .

2) l2(-∞;∞) – пространство двусторонних последовательностей комплексных чисел с нумерацией целыми числами, для которых соответственно ряд

– сходящийся. Скалярное произведение в этом пространстве определяется формулой .

Рассмотрим оператор одностороннего сдвига U(x1, x2, …, xn, …)=(0, x1, x2, …). Покажем, что этот оператор является изометрическим. Действительно, для любых

. А, значит, этот оператор по лемме 1 является изометрическим. Указанный оператор U не является унитарным, так как его образ – это не все пространство l2; векторы, имеющие ненулевую первую координату (например векторы вида (1, х1, х2, …)) не имеют прообраза. Значит, обратного оператора он не имеет.

Теорема 8. Оператор двухстороннего сдвига является унитарным оператором

Доказательство. Рассмотрим оператор двустороннего сдвига

U(…, x-1, x00, x1, …)=(…, x-2, x-10, x0, x1, …).

Очевидно, что этот оператор сохраняет норму, т.е. является изометрическим:

. Покажем, что он имеет обратный оператор – это оператор, который любую последовательность сдвигает влево.

В пространстве последовательностей, как и в любом метрическом пространстве, любой вектор представляется как линейная комбинация элементов базиса. В этом пространстве имеется канонический базис – это последовательности вида

………………………

l-1=(.., 0, 1-1, 0, …)

l0=(…, 0, 10, 0, …)

l1=(…, 0, 11, 0, …)

………………………

Подействуем оператором U на произвольный элемент базиса:

Ulk=U(…, 0, 1k, 0,…)=(…, 0, 1k+1, 0)=lk+1.

Т.е. каждый элемент базиса оператор U переводит в последующий элемент. Чтобы осуществлялось обратное действие, мы должны каждый элемент базиса перевести в предыдущий элемент, т.е. U-1lk=lk-1.

Каждый вектор пространства l2 х=(…, х-1, х0, х1, …) может быть представлен в виде:

. А так как оператор U-1 элементы базиса переводит в предыдущие, то, действуя на последовательность , сдвинет ее влево.

Итак, мы получили, что оператор двухстороннего сдвига U имеет обратный оператор и является изометрическим, следовательно, он является унитарным. Спектр этого оператора лежит на единичной окружности.

7.Взвешенные сдвиги

Определение 12. Оператором взвешенного сдвига называется произведение оператора сдвига (одностороннего или двустороннего) на диагональный (в этом же базисе) оператор.

Более подробно: пусть

– ортонормированный базис (n = 0, 1, 2, … или n = 0, 1, 2, …) и пусть – ограниченная последовательность комплексных чисел (n пробегает те же значения, что и выше). Оператором взвешенного сдвига называется оператор вида SP, где S– оператор сдвига (Sln= ln+1) ,а Р – диагональный оператор с диагональю (Pln = ln ).