Оператор сдвига (стр. 6 из 8)

Та же конструкция (которую мы не будем здесь описывать), дает расширение любого множества, построенного на основании поля действительных чисел, например, булеана

, или прямого произведения . Поскольку отображение можно рассматривать как подмножество , то получаем также расширения всех числовых отображений. Всю полученную совокупность множеств называют нестандартным универсумом. На основании нестандартного универсума можно построить теорию, аналогичную математическому анализу, или нестандартный математический анализ.

Мы перечислим без доказательства некоторые необходимые в дальнейшем утверждения нестандартного анализа.

Принцип переноса

Если в стандартной теории верно некоторое утверждение, записанное логической формулой с конечным числом логических символов, то аналогичное утверждение верно и в нестандартном универсуме и наоборот.

Пусть дано бинарное отношение

. Отношение называется направленным, если для любого конечного набора элементов существует элемент , который находится в отношении со всеми элементами данного набора.

Принцип направленности. Пусть дано направленное отношение

. Тогда во множестве *В существует элемент , находящийся в отношении со всеми элементами множества А:

Пример. Выведем из принципа направленности существование бесконечно большого числа в *R. Возьмем прямое произведение

и на нем обычное отношение порядка: элементы x и y находятся в отношении , если . По принципу направленности: , что и означает, что в расширении существует элемент, который больше любого стандартного действительного числа, т. е. бесконечно большое число.

Теорема 10 [2]. Пусть

- стандартная последовательность. Тогда . То есть число является пределом стандартной последовательности тогда и только тогда, когда для расширенной последовательности все члены с гипернатуральными номерами бесконечно близки к b.

(Соотношение

, , означает, что – бесконечно малое число).

Доказательство.

1) Пусть

, тогда по определению предела стандартной последовательности выполняется условие . Применим принцип переноса: . Но все бесконечно большие номера будут больше n0 , поэтому при любом стандартном положительном для любого бесконечного номера выполняется неравенство , что и означает .

Пусть

. Возьмем стандартное ε>0 , тогда верно утверждение: . По принципу переноса такое же утверждение верно и в стандартном универсуме, следовательно, , что и требовалось доказать.

Множества, входящие в нестандартный универсум, называются внутренними. Это множества, которые являются элементами расширения булеана какого-то стандартного множества. Рассмотрим множества, являющиеся элементами

, где – булеан . Для всех множеств из выполняется утверждение: если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань (аксиома непрерывности). И определение ограниченности сверху, и определение точной нижней грани можно записать формулой с конечным числом символов, поэтому к данному утверждению применим принцип переноса. Значит, если множество ограничено сверху некоторым гипердействительным числом, то оно имеет точную верхнюю грань в , которую также будем обозначать .

Теорема 11. Пусть имеется внутреннее множество А

*R, причем . Тогда .

Доказательство. Очевидно, данное множество ограничено сверху, например, числом

. Пусть М=sup А. Предположим от противного: пусть условие не выполняется, значит, положительное число не бесконечно малое. Значит, существует такое стандартное положительное число , что . Отсюда следует, что . А так как для любого число бесконечно малое, то , следовательно, М не является точной верхней гранью множества А, и предположение не верно.

2. Расширение пространств

и

Рассмотрим следующие пространства:

1) l2 – пространство односторонних последовательностей комплексных чисел с натуральной нумерацией, для которых ряд

- сходящийся.

2) l2(-∞;∞) – пространство двусторонних последовательностей комплексных чисел с нумерацией целыми числами, для которых соответственно ряд

- сходящийся.

Соответственно, обозначим через *l2 нестандартное расширение пространства l2, которое также является линейным пространством над полем

, наделенным скалярным произведением.

Определим, какие последовательности гиперкомплексных чисел будет содержать пространство *l2.

Так как по определению l2 ={{xi}/

C R, n N: ≤ C}, то по принципу переноса