*l2={{xi}i

*N /

С

*R,

ν

*N:

≤С} (*)
Т.е. в l2 входят гиперкомплексные последовательности с гипернатуральной нумерацией, удовлетворяющие условию (*). Аналогично, в *l2(-

,

) будут последовательности с гиперцелой нумерацией, члены которых также

*С, удовлетворяющие аналогичному (*) условию
*

-

,

)={{xi }/

С

*R,

ν

:

≤С}.
Естественным образом в *l2 можно ввести норму:

, но в отличие от нормы в l2, в *l2 норма может принимать также и бесконечные значения.
Докажем, что для расширений стандартных последовательностей

.
Возьмем стандартную последовательность {xi}=x в пространстве l2 с нормой

и любое стандартное

. Воспользуемся теоремой 1:

. Из этого утверждения следует, что верно следующее утверждение:

, т.е. для любого стандартного

число

является верхней границей для множества всех сумм вида

(1).
Обозначим М

=

(2)
Из предыдущего следует, что

. С другой стороны, так как М

, то

]. Но

, значит, для любого стандартного

, следовательно, М

, или

, что и требовалось доказать.
3. Операторы сдвига в нестандартном расширении пространства последовательностей
В дальнейшем Н – гильбертово пространство,

– пространство всех линейных ограниченных операторов в Н.
Для линейных операторов в нестандартных пространствах можно ввести аналоги основных понятий теории операторов: ограниченности, нормы, спектра. При этом можно рассматривать различные пространства операторов: например,

– множество всех расширений операторов из пространства

;

– множество всех линейных операторов

, имеющих конечную норму, т. е. удовлетворяющих условию

; *(L(H)) – расширение пространства всех линейных ограниченных операторов в Н.
Мы будем рассматривать операторы из пространства *(L(H)). Для операторов из этого пространства можно ввести норму как расширение нормы на пространстве *(L(H)). Но в отличие от стандартной нормы она может быть также и бесконечна. Назовем оператор из *(L(H)) ограниченным, если его норма конечна
Определение 13. Спектром оператора А

*(L(H)) называется множество точек λ

, для которых оператор А– λI не имеет ограниченного обратного в *(L(H)).
Теорема 12. Если существует элемент

с не бесконечно малой нормой, такой, что

для некоторого λ

, то число

принадлежит спектру оператора А.
Доказательство. Предположим, что обратный оператор

существует. Обозначим

. Тогда

, а

. Норма элемента

равна 1, а норма элемента

бесконечно большая. Отсюда следует, что оператор

не ограничен.
Определение 14. Элемент

с не бесконечно малой нормой, такой, что

для некоторого λ

, называется почти собственным вектором оператора А, а число

– точкой почти собственного спектра оператора А.
Рассмотрим оператор сдвига U в пространстве

, т. е. оператор, каждую последовательность вида

переводящий в последовательность вида

Также будем рассматривать оператор двустороннего сдвига

, он каждую последовательность вида

сдвигает вправо, т.е. переводит в последовательность

.
Рассмотрим следующую задачу. В пространстве *

возьмем следующую последовательность:

, где

– бесконечно большой номер. Найдем норму этого элемента:

. Если же качестве

возьмем

, то получим

. Покажем, что данный элемент является почти собственным вектором оператора сдвига с почти собственным числом

, т. е.

. Действительно,

=

, следовательно,

.