Проективная геометрия (стр. 2 из 5)
2.3. Каковы бы ни были четыре различные точки A, B, C, D прямой из них могут быть всегда единственным образом составлены две раздельные пары.
Аксиомы 2.4, 2.5 касаются взаимного расположения пяти точек. Если пары С,D и C, E разделяют A, B, то D E не разделяет A, В (рис.6). Если C, D и C, E не разделяют A, B, то D, E не разделяет A, B(рис.7).2.6.
Пусть A, B и C, D две пары точек прямой U, A/, B/ и C/, D/ их проекции из какого угодно центра на произвольную другую прямую U/. Тогда если пары A, B и C, D разделяют друг друга, то пары A/, B/ и C/, D/ тоже разделяют друг друга.Таким образом, разделенность двух пар точек есть свойство, инвариантное относительно проектирования. Это один из инвариантов проективной геометрии.
Это свойство позволяет упорядочивать точки на прямой. Так если дан отрезок АВ на проективной прямой, то множество его внутренних точек можно упорядочить так: точка M предшествует точке N, если пара A, N разделяет пару M, B (рис.8). 
Две произвольные точки А, В проективной прямой U разделяют ее на два отрезка(рис.9). Чтобы отличить один из двух рассматриваемых отрезков от другого, нужно указать какую-нибудь его точку. Поэтому в проективной геометрии отрезок иногда обозначается тремя буквами. Например отрезок A С В обозначают отрезок с концами А, В и внутренней точкой С. Если точка D принадлежит другому отрезку то его можно обозначить А D В. Как легко видеть, пара точек А, В разделяет пару точек С, D. Отрезки А C В и A D B называются дополнительными друг к другу.Мы рассмотрели, как вести порядок точек на каком-либо отрезке проективной прямой. Точки М, N , принадлежащие отрезку А В упорядочены так, что точка М предшествует точки N, если пара А, N разделяет пару M, B.
Чтобы это распространить на все точки отрезка А, В надо показать выполнение условия транзитивности: т.е. если точка М предшествует точке N, точка N предшествует точка Р, то точка М предшествует точке Р, т. е. надо показать, что пара АР разделяет пару M, B. Т. к. А, N разделяет пару М, В, то точка М лежит на отрезка А M N.
Т. к. A, P разделяет N, B, то точка N лежит на отрезке A N P, таким образом весь отрезок A M N лежит внутри отрезка A N P и т. о. точка М предшествует Р(рис.10).Для дальнейшего введения системы координат на проективной прямой нам понадобится понятие гармонически сопряжённых пар точек. Для их определения рассматривается проективные понятия трёхвершинника и четырёхвершинника. Условимся называть трёхвершинникомсовокупность трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх прямых, попарно соединяющих эти точки (рис. 12).
Точки A, B, C назовём вершинами, прямые a, b, c сторонами трёхвершинника. Рассмотрим второй трёхвершинник A/, B/, C/. Для доказательств многих теорем проективной геометрии используется теорема Дезарга (являющаяся основной теоремой проективной геометрии). Сформулируем её: ”Если соответственные стороны трёх вершинников ABC и A/B/C/ (т. е. AB и A/B/, BC и B/C/, AC и A/C/) пересекаются в точках P, Q, R лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины сходятся в одной точке (O)”. Справедлива и обратная теорема Дезарга: ”Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух трёхвершинников ABC и A/B/C/ сходятся в одной точке, то соответственные стороны пересекаются в точках лежащих на одной прямой”. Обычно прямую u ,где расположены точки пересечения соответствующих сторон, называют осью преспективы, а точку, в которой сходятся прямые, соединяющие соответствующие вершины называют центром перспективы. Тогда обе теоремы Дезарга сформулируются одним утверждением: ”Если два трёхвершинника имеют ось перспективы, то они имеют и центр перспективы и обратно”.
Определение: Плоская фигура, составленная четырьмя точками, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и шестью прямыми, соединяющими попарно эти точки называется полным четырёхвершинником.
Указанные стороны называются вершинами, прямые- сторонами четырёхвершинника. Вершины - A, B, C, D. Стороны- a, b, c, d, s, t (рис. 13).
Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными. Это a и d , b и c , s и t . Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными точками четырёхвершинника. Здесь это точки P, Q, R. При помощи полного четырёхвершинника определяется понятие гармонически сопряжённых пар точек.Определение: Пару точек S и T произвольной прямой и называют гармонически сопряжённой с парой точек P и Q этой же прямой, если P и Q суть диагональные точки некоторого четырёхвершинника, а точки S и T есть точки пересечения этой прямой с двумя противоположными сторонами четерёхвершинника, проходящими через третью диагональную точку.
Введённое определение позволяет построить четвёртую гармоническую точку к трём произвольно заданным точкам прямой u. Выберем вне прямой u некоторую т. B и на прямой PB некоторую т. A, отличную от P и от B. Тогда пересечение прямых AQ и BS определяет точку C. Пересечение прямых BQ и AC определяет точку D. Пересечение прямой AD с прямой u определяет четвертую гармоническую т. T. Т. О. положение т. T по трём заданным определяется однозначно.
Аналогично теореме Дезарга для двух трёхвершинников, существует подобная теорема для двух четырёхвершинников.
Теорема: Пусть ABCD и A/B/C/D/- два четырёхвершинника с двумя общими диагональными точками P и Q (пересечениями противоположных сторон AB и CD, A/B/ и C/D/ и AC и BD, A/C/ и B/D/ ).
Тогда, если стороны BC и B/C/ этих четырёхвершинников пересекаются в точке S прямой PQ, то их стороны AD и A/D/ пересекаются в точке T этой же прямой.
Если пара точек P и Q гармонически сопрежена с парой точек S и T, то и обратно пара точек S T гармонически сопряжена с P, Q.Т. е. эти пары взаимно гармонические. Как и свойство взаимной раздельности пар, свойство гармонической сопряжённости инвариантно относительно проектирования (это инвариант проективной геометрии) (рис.14).
Т. e. если P, Q и S, T гармонически сопряжённые пары, то после проектирования из некоторого центра O на прямую и получим тоже гармонически сопряжённые пары P/, Q/ и S/, T/.
Важной также является теорема о том, что “Взаимно гармонические пары разделяют друг друга”.
Теперь мы переходим к установлению принципа определения точек проективного пространства с помощью координат.
Построим сначала целочисленную систему координат на проективной прямой. Если эту прямую разрезать по её бесконечно удалённой точке, то множество конечных точек прямой можно упорядочить двумя различными способами(как бы по возрастанию и убыванию координат). Каждый из этих способов называется линейным порядком.
Возьмём на введённой проективной прямой a три точки из которых две помечены числами 0 и 1, а третья значком бесконечности. Точку бесконечности считаем бесконечно удалённой точкой прямой, точки 0 и 1- конечными, а прямую a- разрезанной в т. бесконечность.
Введём на прямой a линейный порядок так, чтобы т O предшествовала точке 1
Далее числом 2 пометим точку, которой вместе с точкой O составляет пару, гармонически
сопряженную с парой (1, бесконечность). По известной теореме такую точку можно всегда построить и к тому же пара (O, 2) разделяет пару (1, бесконечность). Поэтому в линейном порядке т. 1 лежит между т. O и т. 2, или иначе, т. 2 следует за т. O и т. 1.Построить т. 2 можно так: проведём через т. бесконечность прямой a две прямые, пометим их числом 1 и буквой U. Выберем на прямой u любую точку A. Проведём прямые AO и A1.
Они в пересечении с прямой 1 дадут точки (1, 0) и (1, 1). Далее проведём через т. O и (1, 1) прямую до пересечения с прямой u получим т. B. Соединим B и 1 и найдём точку пересечения прямой B1 и 1. Это точка (1,2). Проектируя эту точку на прямую a из центра A получим т. 2. Она и будет той четвёртой точкой в гармонически сопряжённых парах O, 2 и 1, бесконечность. Это можно показать, рассмотрев четырёхвершинник A, B, (1, 1), (1, 2).
Далее процесс построения аналогичный. Проектируя точку 2 на прямую 1 из т. B получим точку (1, 3). Проектируя последнюю на прямую a из точки A получим т.4 и т. д.
Аналогично можно получить точки, помеченные отрицательными числами. Так мы выстроили шкалу для определения целочисленных координат точек на прямой. Далее мы начинаем дробить отрезки и находить сначала координаты типа Z= (X+ Y)/2.
Оказывается, что точки Z, бесконечность составляют гармоническую пару с X, Y. Сама точка Z называется проективным центром отрезка (X, Y). Дробя далее отрезки можно присвоить каждой следующей дробной точке определённое число.
Таким образом, разрезанной проективной прямой получает соответствующее число, которое называют проективной координатой.
На проективной плоскости каждая точка получает две проективные координаты, в проективном пространстве- три.
До сих пор мы устраивали координатную систему на разрезанной проективной прямой, при этом одна точка, обозначаемая бесконечность, никакой координаты не получала.