Проективная геометрия (стр. 4 из 5)

s^/x^/₁ = c₁₁ x₁+c₁₂ x₂

s^/x^/₂= c₂₁ x₁+c₂₂ x₂ и

Часто бывает удобным использовать проективные преобразования в неоднородных координатах.

Для прямой : Если х₁ , х₂ - однородные координаты точки М на прямой ,то х=х₁ / x₂ - число, являющееся неоднородной координатой точки М на этой прямой . Пусть задано проективное преобразование прямой а на прямую а^/ . Значит, существуют соотношения :

sx^/₁ = c₁₁ x₁+c₁₂

sx^/₂ =c₂₁ x₁+c₂₂ x₂

Разделим почленно первое равенство на второе :

sx^/₁ /sx^/₂ =(c₁₁ x₁+c₁₂ x₂) / (c₂₁ x₁+c₂₂ x₂) , учитывая , что x^/=x^/₁ / x^/₂ , и x=x₁ / x₂ .

Преобразуем

x^/=(c₁₁ x+c₁₂)/ (c₂₁ x+c₂₂) , введя новые обозначения : a=c₁₁ , b=c₁₂ , g=c₂₁ , d=c₂₂

x^/=(ax+b) / (gx+d) - т.е. в неоднородных координатах проективное преобразование выражается дробно - линейной функцией. ad -bg №0

Для плоскости : Однородные координаты точки М - х₁ , х₂ , х₃ , неоднородные : x=x₁ / x₃ ,y=x₂ / x₃ .

Формулы проективного преобразования в неоднородных координатах :

x^/=(a₁ x+b₁ y+c₁) / (ax+by+ g) , a₁ b₁ c₁ y^/=(a₂ x+b₂ y+c₂) / (ax+ by+ g) где

В трехмерном пространстве :

Однородные координаты (x₁ , x₂ , x₃ , x₄₎) _.

Неоднородные координаты

Рассмотрим подробнее проективные преобразования одномерных многообразий, здесь можно ограничится случаем преобразования прямой на прямую. Как установили ранее, в неоднородных проективных координат на прямой это преобразование имеет вид дробно-линейной функции (1) х^/=х+х+ , причем, чтобы существовало обратное проективное преобразование, необходимо, чтобы величина 0. Запишем преобразование (1) в виде функции х^/= f(x).

Пусть данное отображение применяется последовательно два раза: х^/= f(x), x^//= f(x^/)= f(f(x)). Тогда, если для любого элемента х одномерного многообразия (на прямой) выполняется соотношение x^//= f(x^/)= х (то есть дважды преобразованный возвращается в себя) , то такое проективное отображение называется инволюционным или инволюцией. Инволюция характеризуется еще и тем, что x= f(x^/), т. е. обратное отображение х^/= х совпадает с исходным х= х^/. Найдем условие на коэффициенты в (1), при которых проективное отображение является инволюцией. Для этого из (1) выразим х через х^/ : (x ^/- )x= -x^/ + x= -x^/+x ^/- (2). Из сравнения (1) и (2) видно, что отображения одинаковы тогда, когда либо:

а) =-любые

б) === 0 - но это тождественное отображение, которое исключим из рассмотрения.

Таким образом, из случая а) вытекает форма инволюционого проективного отображения х^/= х+х-, где -^обозначим = -^

Неподвижной точкой любого отображения называется точка, остающаяся неизменной после отображения. Для инволюции это означает , что х =х^/= х+х-.

Решим последнее уравнение относительно х (3) х²-2х-= 0 - квадратное относительно х.

Это означает, что при инволюционном отображении число неподвижных точек не может быть больше 2.Дискреминант уравнения (3) есть ^=-

Если -(дискриминант отрицательный), то уравнение (3) не имеет действительных корней, то есть нет ни одной неподвижной точки. Такая инволюция называется эллиптической (ее условие --^

Если -то есть -^то уравнение (3) имеет два действительных корня или две неподвижные точки- называется такая инволюция гиперболической.

Если то есть -^параболическая инволюция, но в этом случае такое отображение не входят в группу проективных преобразований, так как оно не взаимно однозначно.

Существует теорема , что для однозначного определения инволюции надо задать две пары соответствующих точек на прямой, в отличии от общих формул проективного отображения прямой на прямую, где надо задать три пары точек.

Следующий инвариант проективной геометрии - сложное отношение четырех точек на прямой.

Оно определяется так :Пусть М₁,М₂,M₃,M₄-четыре точки некоторой проективной прямой. Введем систему проективных неоднородных координат , и обозначим через t_1,,t₂,t₃,t₄, координаты заданных точек. Можно показать, что величина (t₃-t₁)/(t₂-t₃):(t₄-t₁)/(t_2--t₄ не зависит от выбора координатной системы, а определяется только положением точек на прямой.

Эта величина обозначается (М₁ М₂ M₃ M₄)= (t₃-t₁)/(t₂-t₃):(t₄-t₁)/(t_2--t₄ ) и называется сложным отношением четырех точек (СОЧТ).

Непосредственным вычислением можно показать, что выполняются два свойства СОЧТ.

1) (М₁ М₂ M₃ M₄)=(M₃M₄M₁M₂)

2) (М₁ М₂ M₃ M₄)= 1/ (М₁ М₂ M₃ M₄) то есть СОЧТ не меняется при перестановке первой и второй пар точек , изменяется на обратную величину при перестановке точек внутри какой-нибудь пары.

Важная теорема проективной геометрии гласит.

При любом проективном отображении прямой а на прямую а^/ сложное отношение произвольной группы точек М₁ М₂ М₃ М₄ прямой а равно сложному отношению соответствующих им точек М₁^/ M₂^/ M₃^/ M₄^/ прямой а^/ .

Частным ее случаем является утверждение:

В плоскости заданы две прямые а и а^/ ,задана произвольная точка S ,принадлежащая плоскости ,но не лежащая на прямых а и а^/. Тогда, сложное отношение любой четверки точек М₁ М₂ М₃ М₄ прямой а равно сложному отношению их проекций М₁^/М₂^/ М₃^/ М₄^/ из центра S на прямую а^/ .

Аналогичное утверждение можносформулировать для плоского пучка из четырех лучей m₁ m₂ m₃ m₄

Любая прямая, пересекающаяэти четыре луча в

четырех точках, имеет для этих четырех точек одно и тоже сложное отношение.

(М₁ М₂ М₃ М₄)=инвариант проективной геометрии

или, что тоже самое (m₁ m₂ m₃ m₄ ) - инвариант проективной геометрии

Основной вывод : Сложное отношение четырех элементов одномерного многообразия - есть инвариант проективных отображений. Можно показать, что если пара точек А ,В гармонически разделяет пару точек С,D, то сочетание (А В С D)=-1.Оно вытекает из свойства гармонического сопряжения , когда каждая точка первой пары делит отрезок, образуемый второй парой точек внутренним и внешним образом в одинаковом отношении

АС/AD=BC/BD или через неоднородные координаты t_i точек (1,2,3,4) соответствует ( A , B , C , D )

(t₃ - t₁)/(t₁ - t₄) = (t₂ - t₃)/(t₂ - t₄) или (t₃ - t₁)/(t₂ - t₃) =

- (t₄ - t₁)/(t₂ - t₄) или ((t₃ - t₁)/(t₂ - t₃))/((t₄ - t₁)/(t₂ - t₄))=-1

Матрицы проективных преобразований.

Представим перспективную проекцию объекта как проективное преобразование с центром проекции на оси z (на расстоянии z_q от начала координат). Пусть плоскостью проекции является координатная плоскость XOY