Проективная геометрия (стр. 5 из 5)

P(x,y,z)-точка объекта , P^/(X,Y)-её проекция из центра Q. Известно, что координаты точки-проекции P^/ есть X=x/(1-z/z_q) , Y=y/(1-z/z_q) (*)

Однородные координаты точки P (x,y,z,1) - P^/(x^/,y ^/,z^/,w ^/) ,w 

Преобразование (*) может быть выражено через матрицу проективных преобразований в однородных координатах:

Неоднородные координаты точки P^/ получаем отсюда : X=x/(1-z/z_q ) , Y=y/(1-z/z_q ) ,Z=0

Найдём проекцию бесконечно удаленной точки на оси Z - $ однородные координаты (0,0,1,0).

Вместо М_Пр возьмем матрицу полного проективного преобразования (без проецирования на плоскость XOY).

Неоднородные координаты проекции этой точки (0 ,0 , -z_q )

Если взять семейство параллельных оси z прямых, то после такого проективного преобразования каждая из них пройдет через указанную точку (0,0,-z_q ) на оси z .Поэтому эту точку называют точкой схода.

Аналогично, матрицы

описывают проективные преобразования с точками схода на оси OX и OY. Это все преобразованные с одной точкой схода.

Матрица преобразование

с двумя точками схода

Групповые свойства проективных преобразований

Группа - есть совокупность объектов произвольной природы, которые называются элементами группы а обозначается символами a, b, c, ..., удовлетворяющая требованиям следующих аксиом:

1. С каждой парой элементов совокупности, взятых в определённом порядке, сопоставлен по определённому закону некоторый третий элемент этой же совокупности.

Символически это записывают так c=ab, элемент c называется произведением (композицией) элементов a и b. Иначе: композиция двух любых элементов группы даёт элемент, принадлежащий этой же группе.

2. Закон ассоциативности: Каковы бы ни были три элемента группы a, b, c, всегда имеет место соотношение (ab)c=a(bc)

3. Существует такой элемент e, что для любого элемента a группы выполняется ae=a.

Элемент e называется единичным элементом.

4. Каким бы ни был элемент группы a, всегда существует такой элемент x, что ax=e.

Элемент x называется обратным элементу a и обозначается a^-1, т. е. X= a^-1.

Отсюда следуют такие правила:

a) если ax=e, то и xa=e

б) если e-единичный элемент группы, то ae= a и ea= a т. е. не различается “левая” и “правая” единицы

в) из соотношения ax= e обратный элемент x определяется однозначно

Если все эти положения применить к проективным преобразованиям, а именно к представляющим их матрицам проективных преобразований в однородных координатах, то можно сказать, что совокупность проективных преобразований составляет группу:

1) произведение двух проективных матриц есть вновь матрица проективного преобразования;

2) (c₁c₂)c₃= c₁(c₂c₃)

3)

единичный элемент

4) условием существования обратного элемента является условие существования обратной матрицы, для последнего необходимо, чтобы [c]#0 это условие является требованием проективного преобразования.

Группу проективных преобразований называют проективной группой.

Прежде чем рассмотреть матрицы проективных преобразований, соответствующих конкретным их типам, вспомним иерархию геометрических преобразований.

Для однозначного определения матрицы преобразования 1^го уровня необходимо (n+2) точки. Для однозначного определения матрицы преобразования 2^го уровня необходимо (n+1) точка. Для однозначного

определения матрицы преобразования 3^го уровня необходимо n точек.

Матрицы конкретных проективных преобразований.

Каждое преобразование более низкого уровня является одновременно и преобразованием более высокого

1) На плоскости. Перенос на вектор n (a,b)

P^/=M(n )P P, P^/ - однородные координаты

Поворот на угол против часовой стрелки вокруг начала координат.

Маштабирование относительно начала координат.

неоднородное

2) В пространстве

Вращение

относительно оси Z(угол )

относительно оси X(угол  )

относительно оси y(угол )

Сложные преобразования строятся как цепочки преобразований.

Перспективные преобразования.

1) C одной точкой схода (соответственно на различных осях).

А) На оси Z

куда преобразуется точка , параллельная z, лежащая на бесконечности т.А_z(0,0,1,0)

В неоднородных координатах.

т.е. точка схода лежит на оси z на расстоянии (-z_q)

б) на оси x

Прямые параллельные оси ox идущей из бесконечности т.А(1, 0, 0, 0) преображаются в т.(-x_q , 0, 0)

в) На оси у

т.А(0,1,0,0) преображается в точку (0,-y_q,0)

г) С двумя точками схода , с тремя.