Овалы Кассини и пузыри в моделировании мягких оболочек (стр. 2 из 3)

x² + y² = R².

(32)

Другим предельным состоянием нагружения мягких домкратов является режим, при котором оболочка напряжена только избыточным давлением рабочего уровня без воздействия массы груза, при этом (f стремится к 0). Конечное уравнение при этом принимает вид канонического уравнения сферы:

(x² + y² + z²) = d² отсюда x² + y² + z² = d² . (33)

Таким образом, при определенных условиях нагружения можно получить любую из поверхностей вращения меридиана деформированной сферы и соответствующее им уравнение поверхностей.

В результате проведенных исследований сделаны следующие выводы: проектирование мягких оболочек должно базироваться на четырех основных научных положениях, приведенных в настоящей работе; существует возможность моделирования механизма формообразования мягких оболочек, в том числе в условиях геометрической изменяемости. Установлено, что пузырьковая модель отражает геометрическую, а силовые линии напряженности (овалы Кассини) – физическую модель формообразования мягкой оболочки.

3. Построение меридиан деформированной сферы.

Для построения меридиан деформированной сферы воспользуемся известным графическим способом построения овалов Кассини ( Рис. 27 )

Задавая параметры (f ) и (d ) (см. таблицу) находим положение фокусов, затем проводим из точки, лежащей на пересечении оси абсцисс с начальной окружностью, луч, который пересекает окружность, описанную из начала координат, с радиусом, равным (d ). Если теперь из фокусов описать окружность радиусами, равными отрезкам от точки пересечения оси абсцисс с начальной окружностью до конца радиуса (d), то точка их пересечения будет принадлежать меридиану деформированной сферы. Меняя направление луча, можно построить любое число точек.

Очевидно , поверхности вращения меридиан деформированной сферы по конфигурации подобны поверхностям вращения овалов Кассини . Однако введение определенности в соотношение размеров продольных и поперечных осей вращения позволяет рассматривать семейство этих кривых в качестве модели для определения закономерностей формоизменения расчетной сферы , например условия складкообразования линзообразных оболочек плоского раскроя и т. п.

Рассмотрим примеры определения уравнения деформированной сферы по заданным условиям нагружения :

1 . При начальном положении (первое предельное состояние) оболочка мягкого домкрата полностью деформирована распределенной внешней нагрузкой. Начальные условия должны удовлетворять параметрам сферической поверхности при (f = R); (d = 0); (h = z = 0); (x = y). Подставляя заданные условия в уравнение ( 34 ) последнее принимает вид плоского круга:

x² + y² = R1² . (42)

2. При втором предельном состоянии ( оболочка мягкого домкрата напряжена рабочим давлением газа, нагрузка массы не действует) начальные условия соответствуют равенству (f = 0). При этом конечное уравнение принимает вид сферы:

(x² + y² + z ²) – d⁴ = 0 → x²+ y² + z² = d² (43)

3. При третьем предельном состоянии, при котором оболочка мягкого домкрата совершает работу по преодолению воздействия растягивающих усилий сжатой рабочей среды и нагрузки массы, дополнительно сжимающей среду; начальные условия соответствуют одному из промежуточных условий (0 ≤ d ≤ R), что сохраняет порядок исходного уравнения, а форма оболочки принимает вид тора.

Табл. 6

Значения констант уравнения овалов Кассини при перемещении координат точек фокусов.

Уравнение Кассини: (x² + y² ) – 2f (x² – y² ) = d⁴ – f⁴

№№	d, см	f, см	h, см	h´ , см	r, см
1 23456789101112	0 00.5f 4,50,8f 6,20,9f 6,71,0f 7,01,1f 8,1f √2 8,2f √3 8,7 2f 9,0f√13,6 9,6f√123 9,9- 10,0	10,0 8,9 7,8 7,4 7,0 6,7 5,8 5,0 4,5 2,6 0,9 0	02,35,06,07,09,811,6-----	----09,711,614,215,618,519,720,0	10,0 7,8 4,7 3,3 0 - - - - - - -

Примечание: 1. Условие существования деформированных меридианов: (a = R = const, 0 ≤ f ≤ a ).

2. R = a = A1 A2 / 2 = √(f ²+ d² ) = 10 см.

3. h = 2b = K1 K2 = d ²/ f ².

4. h' = 2b' = C1 C2 = 2 √ (d² – f ²).

5. r = B1 B2 / 2 = √ (f ²– d ²).

Рис. 27. Схема построения меридиан деформированной сферы

Следует отметить, что построенные по уравнению деформированной сферы (36) меридианы хорошо вписываются в, так называемые, кривые изменения радиуса меридиана, деформированного без изгиба, полученные с помощью дифференциального уравнения, основанного на условиях безызгибности деформации /13/ :

(3 – R2 / R1) х (d R2 / d Θ) – (R2 d / d Θ) х (R2 / R1) = 0, (44)

где R1 и R2 - соответственно меридиональный и окружной радиусы кривизны оболочки вращения;

Θ – угол приложения тангенциальных усилий.

Кроме того, по данным работы /5/, меридианы оболочек, построенных с помощью эластик Эйлера, практически совпадают с аналогичными меридианами деформированной сферы. При этом одна из кривых Кассини (лемниската) также является циклоидой и имеет тот же порядок функциональной зависимости, что и эластики (Рис.28).

Таким образом, общие закономерности формоизменения напряженных оболочечных конструкций под нагрузкой с изменением кривизны овалов Кассини позволяют использовать последние для моделирования процессов формоизменения оболочечных конструкций в процессе их деформирования под нагрузкой.

Модифицированное уравнение (36) не зависит от формы деформированной оболочки и выражается соотношением размеров осей симметрии. Следовательно, для расчета предельных состояний оболочек различных форм достаточно, подставляя значения констант, определять геометрические и физические параметры. Установленные физические и геометрические аналогии позволяют использовать их при проектировании оболочечных конструкций для определения напряженности состояния, мест концентрации напряжений, требующих усиления разгружающими элементами, предполагаемых мест разрушения под нагрузкой, а также областей складкообразования.

Эволюция развития формоизменения оболочки под нагрузкой поля напряжения сил давления рабочей среды позволяет вскрыть механизм разрушения оболочек, а также определить запасы прочности и предельные состояния нагруженных оболочечных конструкций.

Рис. 28 Графики деформированных меридиан (пунктирная линия) и дифференциальных кривых, построенных с помощью эластик Эйлера.

4. Зависимость натяжения мягкой оболочки от соотношения геометрических размеров.

Рассмотрим зависимость натяжения замыкающей оболочки от уровня напряжения рабочей среды (третье положение).

Например, наложение конфигураций линий уровня пары взаимодействующих частиц (точечных зарядов) представляет суммарную линию, имеющую форму сплюснутого или вытянутого овала с соотношением размеров полуосей симметрии соответственно больше или меньше единицы. Для определения зависимости натяжения деформированной мягкой оболочки от напряжения рабочей среды рассмотрим усилия, при действии которых два мыльных пузыря, прижатые друг к другу, находятся в равновесии.

Если сдвоенные пузыри свободно висят в воздухе, сохраняя сферическую форму, то в этом случае сближение центров сфер, равное (2m), мало по отношению к первоначальному межцентровому расстоянию, равному (2R), площадь контактного пятна эквивалентна радиусу сферы / 2 /.

Определим силу, с которой притягиваются прикоснувшиеся два мыльных пузыря:

F = - DUn / m = 4 p R m T @ 2x²T. (17)

Установлено, что сила притяжения прикоснувшихся пузырей пропорциональна их радиусу и первоначальному межцентровому расстоянию (2R), то есть площади пятна контакта (x²), где (x² @2R m). Формообразование мягких оболочек с помощью моделей мыльных пузырей показано на рис.20 /19/. Следует отметить, что при слиянии пузырей образуется мембрана, а слившиеся пузыри теряют сферическую форму и замыкающая оболочка приобретает форму вытянутого овалоида (рис.20,б). Такую форму принимает также цилиндрическая оболочка с соотношением размеров длины к диаметру (1< a/b < SQR(2)).

В соответствии с принятым ранее условием любая полость замкнутой оболочки может быть представлена пузырьковой моделью, то есть блоком соприкасающихся упругих сфер, диаметр которых равен высоте (диаметру) замыкающей оболочки. Для этого впишем пару взаимодействующих упругих сфер в мягкую оболочку с заданным соотношением размеров, затем станем надувать их избыточным давлением газа. Повышение давления в сферах приведет к увеличению межцентрового расстояния, уменьшению диаметра и площади мембраны, перераспределению натяжений пропорционально радиусам кривизны. При увеличении соотношения размеров замыкающей оболочки в пределах (SQR(2) < a/b < 2) произойдет взаимное отталкивание упругих сфер, пропорциональное площади мембраны и уровню давления в них. При этом кривизна замыкающей оболочки между вписанными сферами обратится в нулевую, а в торцах станет равной радиусу вписанных сфер.

Кольцевые и окружные (меридиональные) натяжения будут иметь различную природу: кольцевые образуются при взаимодействии оболочки с упругой сферой (со сжатой средой), а окружные – за счет распора двух вписанных упругих сфер. Следовательно, окружные усилия не зависят от количества вписанных сфер.