Овалы Кассини и пузыри в моделировании мягких оболочек (стр. 3 из 3)

Для определения зависимости натяжения деформированной мягкой оболочки от напряжения рабочей среды рассмотрим усилия, при действии которых два мыльных пузыря, прижатые друг к другу, находятся в равновесии. Если сдвоенные пузыри свободно висят в воздухе, сохраняя сферическую форму, то в этом случае сближение центров сфер, равное (2m), мало по отношению к первоначальному межцентровому расстоянию, равному (2R), площадь контактного пятна эквивалентна радиусу сферы / 2 /.

Рис. 20. Формообразование мягких оболочек с помощью моделей мыльных пузырей.

(а – сфера, б – цилиндр, в,г – сплюснутый овалоид, д – тор, е – схема складкообразования с помощью уравнения гипоциклоиды)

Условием разрыва среды (полного отрыва сфер) является следующее соотношение размеров длины к диаметру (a/b = 2), что совпадает с условием складкообразования / 3 / и одноосности нагружения мягкой оболочки. Следует отметить, что мягкие оболочки с соотношением размеров (a/b ≤ 2) относятся к бесскладчатым оболочкам. Если соотношение размеров находится за пределами условия бесскладчатости, то их геометрическая форма –складчатая, что затрудняет их расчет из-за отсутствия определенной начальной формы. Так, напряженное состояние сжатого овалоида (тороида) с соотношением размеров за пределами условия бесскладчатости требует приведения к простым формам и может быть определено с помощью пузырьковой модели.

Представим поверхность сплюснутого овалоида в виде замыкающей, в которую вписаны упругие сферы (см. рис. 20,в). По аналогии со сдвоенными пузырями устойчивое формобразование «строенных» пузырей возможно при соотношении размеров высоты и диаметра, равном (a/b ≤ SQR(2)). При этом условием разрыва среды, очевидно, будет соотношение размеров (a/b = 3). Установлено /15/, что это условие является уравнением гипоциклоиды и может быть использовано для определения модели составных форм, а также условия складкообразования. При этом параметры (Rн) и (rн) являются радиусами направляющего и производящего кругов соответственно (Рис. 21).

Количество складок в зависимости от соотношения размеров деформированной мягкой оболочки определяется уравнением гипоциклоиды:

a = b Rн / rн = m b. (18)

На рис. (17,б – д) показаны схемы формообразования мягких оболочек составных форм с помощью модельных пузырей, сопряженных по принципу плотной упаковки.

Так как в соответствии с законом аддитивности /18/ объем тела равен сумме объемов его структурных элементов, то любой объем мягкой оболочки можно представить в виде суммы объемов составляющих упругих сфер пузырьковой модели. Составные оболочки по количеству сопряженных пузырьковых элементов можно разделить на сдвоенные, состоящие из трех, четырех, а также множества (блока) пузырей, взаимодействующих по плоскости (мембране) или в точке. Плоскости, ограниченные замкнутой кривой, плотно и во все стороны могут быть заполнены лишь теми правильными многоугольниками, у которых углы кратны, а сумма углов в точках стыка равна 360°, то есть шести-, треугольниками и квадратом.

Таким образом, объем замыкающего мягкой оболочкой всего многообразия форм, в том числе и деформированных, можно моделировать с помощью пузырьковой модели, которая является геометрической моделью мягких оболочек.

5. Приведение различных форм мягких оболочек к пузырьковой модели.

Установлена аналогия напряжения и формообразования силовых мягких оболочек под действием избыточного давления, как следствие наложения сферически симметричных полей центральных сил давления, образующих пространственную поверхность равного потенциала (равного давления), моделирующую геометрическую форму мягкой оболочки.

Предлагается приведение оболочек различных форм , в том числе составных, к пузырьковой модели, которая представляется в виде упругих шаров, плотно заполняющих внутреннюю полость, причем погонное натяжение поверхности такого шара обратно пропорционально квадрату его радиуса, как тензора напряжения /20/. Это позволит установить связь между геометрическими и физическими параметрами нагружения, упростить расчет, разработать основные принципы конструирования и технологического проектирования пневматических конструкций.

В качестве исходной модели авторами найдена равнонапряженная замкнутая бесскладчатая поверхность непрерывной кривизны – сфероид вращения.

В общем случае это безызгибный овалоид, то есть энергетически равновесная оболочка вращения, деформированная внешними сжимающими усилиями в пределах условия бесскладчатости.

У деформированной оболочки вращения отсутствует определенная геометрическая форма, а значит присутствуют геометрические параметры для расчета поверхности и объема.

Согласно описанию пузырьковой модели, деформированная за пределы этого условия складчатая мягкая оболочка представляет собой поверхность распора плотно упакованных упругих сфер, заключенных между плоскостями опоры и контакта с грузом, диаметр которых равен высоте оболочки. Следовательно, ее боковая поверхность представляет собой полуцилиндрическую поверхность распора, радиус кривизны которой равен половине высоты оболочки, а площадь контакта – суммарной площади граней (центральных сечений) плотно упакованных призм.

Известно, что плоскость, ограниченная замкнутой кривой, равномерно и плотно во все стороны может быть заполнена лишь тремя правильными многоугольниками: шестиугольником, треугольником (как составляющим правильного шестиугольника) и квадратом /20/. У этих многоугольников углы кратны, а сумма углов в стыковочных точках равна 360°. Другие правильные геометрические фигуры, в том числе окружность, при упаковке оставляют зазоры. В табл. 7 даны результаты сравнительного расчета параметров плоских геометрических фигур компактной (плотной) упаковки, приведенных к радиусу окружности, вписанной в полость деформированной мягкой оболочки.

Рис.21. Закономерность формообразования складок деформированных мягких оболочек и кривых гипоциклоид

Табл. 7

Элементы геометрических фигур равной высоты, используемые для плотной упаковки полости деформированной мягкой оболочки (приведенные к радиусу сферы)

Параметры	Сфера	Призма трех-гранная	Призма шести-гранная	Куб
Соотношение сторон	R	a = 3,46 R	c = 1,15 R	b = 2,0 R
Высота	2,0 R	0,57 a	1,73 c	b
Периметр сечения	6,28 R	10,4 R	6,9 R	8,0 R
Площадь сече-ния (централь-ного)	3,14 R2	5,15 R2	3,46 R2	4,0 R2
Поверхность	12,57 R2	20,6 R2	18,8 R2	16,0 R2
Объем	4,18 R3	17,85 R3	6,88 R3	8,0 R3
Площадь сече-ния, приведен-ная к сечению сферы	1,0	1,64	1,1	1,28

Из таблицы видно, что из рассмотренных многогранников пространственное плотное заполнение без просветов наиболее предпочтительно у кубов. Следовательно, исходя из формы реальных мягких оболочек, целесообразно выбирать ту или иную конфигурацию плотной упаковки, которая является подобной форме центрального сечения деформированной оболочки.

Например, для оболочек прямоугольных в плане наиболее плотной является упаковка из вписанных кубов. А у оболочек близких к круглым в плане – из шестигранных призм (сотовая упаковка).

Объемы полостей реальных пневмоконструкций могут быть представлены плотно упакованными упругими сферами. Их моделями являются прямоугольные призмы, длина ребра которых равна высоте деформированной оболочки. Параметры модели плотной упаковки могут быть использованы не только для расчета рабочих характеристик, но и для определения прочностных свойств оболочки под нагрузкой.

Кроме расчета натяжения материала с помощью пузырьковой модели можно определять зоны перенапряжений, зависящие от величины избыточного давления. Эти зоны являются и потенциальными местами разрушения, поэтому должны быть усилены конструктивными способами.

Таким образом, приведение деформированной оболочки к пузырьковой модели, позволяет представить составную форму оболочки в виде ряда равнонапряженных сферических структур, геометрические параметры которых могут быть использованы для расчета работ давления и натяжения при определении силовых параметров пневмоконструкции и номинальной прочности конструкционного материала.

Список литературы

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. - М.:Наука, 1980, 976с.

Гегузин Я. Е. Пузыри. Библиотечка «Квант».- М.: Наука, 1985, - Вып. 46. 176с.

Горелик Б. М., Шальнев О. В. Основы проектирования эластомерных домкратов. Тематический обзор. ЦНИИТЭНефтехим., М., 1994, 117с.

Гуревич В. И. Калинин В. С. Формы оболочек вращения, деформирующихся без изгиба при равномерном давлении. Доклады АН СССР, 1981, 256, №5, с. 1085-1088.

Магула В. Э. Судовые эластичные конструкции.-Л.: Судостроение.1978.-268с.

Татевский В. М. Теория физико-механических свойств молекул и веществ. – М. : Изд. МГУ, 1987, 239с.

Шальнев О. В., Горелик Б. М. Проектирование напорных мягких оболочечных конструкций с использованием физических и геометрических аналогий. Производство и использование эластомеров.- М.: ЦНИИТЭНефтехим,1994, - №6, с. 15-22.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. – М.: Наука, 1981, 104с.