4. Формула
определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством положительных чисел. При этом . Это означает, что является изоморфизмом.Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.
5.Понятие подгруппы.
Непустое подмножество
называется подгруппой, если само является группой. Более подробно это означает, что , и .Признак подгруппы.
Непустое подмножество
будет подгруппой тогда и только тогда, когда .Доказательство.
В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь
- любой элемент. Возьмем в признаке подгруппы. Тогда получим . Теперь возьмем . Тогда получим .Примеры подгрупп.
1. Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой.
2.
- подгруппа четных подстановок.3.
4.
и т.д.5. Пусть G - любая группа и
- любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество всевозможных степеней этого элемента. Поскольку , рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g .6. Пусть
любая подгруппа Рассмотрим множество - централизатор подгруппы H в группе G.Из определения вытекает, что если , то , то есть . Теперь ясно, что если , то и и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то . Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z(G).Замечание об аддитивной форме записи группы.
Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g).Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.
6. Реализация абстрактной группы как группы преобразований.
Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться.
Пусть
некоторая подгруппа.А) Для каждого
определим отображение (левый сдвиг на элемент h) формулой .Теорема 1
1.
2. Множество L(H,G)=
является группой преобразований множества G.3. Соответствие:
является изоморфизмом групп H и L(H,G).Доказательство.
1. Надо проверить, что отображение
взаимно однозначно для всякого . Если , то по закону сокращения. Значит инъективно. Если любой элемент, то и так что к тому же и сюръективно.2. Обозначим через · операцию композиции в группе Sym(G) взаимно однозначных отображений
. Надо проверить, что и . Пусть любой элемент. Имеем: ; и значит, .3. Пусть
. Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения: . Сохранение операции фактически уже было установлено выше: .Следствие.
Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).
Для случая конечных групп получается теорема Кэли:
Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы
подстановок степени n.B) Для каждого
определим отображение (правый сдвиг на элемент h) формулой .Теорема B.
1.
.2. Множество
является группой преобразований множества G.3. Соответствие
является изоморфизмом групп H и R(H,G).Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только, что
. Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не , а .