С) Для каждого
определим (сопряжение или трансформация элементом h ) формулой .Теорема С.
1. Каждое отображение
является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G).2. Множество
является группой преобразований множества G.3. Отображение
сюръективно и сохраняет операцию.Доказательство.
1. Поскольку
, отображение взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем: и потому сохраняет операцию.2. Надо проверить, что
и . Оба равенства проверяются без труда.3. Сюръективность отображения
имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2.Замечание об инъективности отображения q.
В общем случае отображение q не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования
будут тождественными и группа тривиальна. Равенство означает, что или (1) В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество называется централизатором подгруппы . Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что . Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение q является изоморфизмом.7. Смежные классы; классы сопряженных элементов.
Пусть, как и выше,
некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам .Заметим, что стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G)) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов , что hg=g . Поэтому, если группа H конечна, то вселевые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного .Орбиты группы
называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно , где Z(H,g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g.Пример.
Пусть
- группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы: =(1,2,3); =(1,3,2); =(2,1,3); =(2,3,1); =(3,1,2); =(3,2,1). Пусть . Легко проверить, что левые смежные классы суть: , , .Правые смежные классы:
, , .Все эти классы состоят из 2 элементов.
Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:
, , , .В то же время,
, , .Теорема Лагранжа.
Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.
Доказательство.
По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов:
. Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, , откуда и вытекает теорема.Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы
.Следствие.
Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.
В самом деле, если
эти подгруппы, то их общая подгруппа и по теореме Лагранжа - общий делитель порядков H и K то есть 1.8. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.
Пусть
любая подгруппа и -любой элемент. Тогда также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения является изоморфизмом. Подгруппа называется сопряженной по отношению к подгруппе H.Определение.
Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой:
.Равенство
можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.Примеры.
1. В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.
2. В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа
и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой.3. В рассмотренной выше группе
подгруппа не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы и .