Смекни!
smekni.com

Абстрактная теория групп (стр. 3 из 6)

С) Для каждого

определим
(сопряжение или трансформация элементом h ) формулой
.

Теорема С.

1. Каждое отображение

является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G).

2. Множество

является группой преобразований множества G.

3. Отображение

сюръективно и сохраняет операцию.

Доказательство.

1. Поскольку

, отображение
взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем:
и потому
сохраняет операцию.

2. Надо проверить, что

и
. Оба равенства проверяются без труда.

3. Сюръективность отображения

имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2.

Замечание об инъективности отображения q.

В общем случае отображение q не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования

будут тождественными и группа
тривиальна. Равенство
означает, что
или
(1) В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество
называется централизатором подгруппы
. Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что
. Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение q является изоморфизмом.

7. Смежные классы; классы сопряженных элементов.

Пусть, как и выше,

некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита
называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам
.Заметим, что
стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G)) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов
, что hg=g
. Поэтому, если группа H конечна, то вселевые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного
.

Орбиты группы

называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются
Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно
, где Z(H,g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g.

Пример.

Пусть

- группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы:
=(1,2,3);
=(1,3,2);
=(2,1,3);
=(2,3,1);
=(3,1,2);
=(3,2,1). Пусть
. Легко проверить, что левые смежные классы суть:

,
,
.

Правые смежные классы:

,
,
.

Все эти классы состоят из 2 элементов.

Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:

,
,
,
.

В то же время,

,
,
.

Теорема Лагранжа.

Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.

Доказательство.

По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов:

. Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов,
, откуда и вытекает теорема.

Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы

.

Следствие.

Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.

В самом деле, если

эти подгруппы, то
их общая подгруппа и по теореме Лагранжа
- общий делитель порядков H и K то есть 1.

8. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Пусть

любая подгруппа и
-любой элемент. Тогда
также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения
является изоморфизмом. Подгруппа
называется сопряженной по отношению к подгруппе H.

Определение.

Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой:

.

Равенство

можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.

Примеры.

1. В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.

2. В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа

и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой.

3. В рассмотренной выше группе

подгруппа
не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы
и
.