4. Если
- любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z(H,G) - нормальная подгруппа в G , так как для всех ее элементов z . В частности, центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа.5. Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса : H и Hg = G-H = gH.
Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).
Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть
.Доказательство.
Очевидно, что для любой подгруппы H
.Но тогда = = = .Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс
. Поскольку , всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.9 Гомоморфизм.
Гомоморфизм групп - это естественное обобщение понятия изоморфизма.
Определение.
Отображение групп
называется гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть : .Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения.
Примеры.
1. Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом.
2. Тривиальное отображение
является гомоморфизмом.3. Если
- любая подгруппа, то отображение вложения будет инъективным гомоморфизмом.4. Пусть
- нормальная подгруппа. Отображение группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку . Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным.5. По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения
сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом.6. Отображение
, которое каждому перемещению n- мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор (см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции .Теорема (свойства гомоморфизма)
Пусть
- гомоморфизм групп, и - подгруппы. Тогда:1.
, .2.
- подгруппа.3.
-подгруппа, причем нормальная, если таковой была .Доказательство.
1.
и по признаку нейтрального элемента . Теперь имеем: .2. Пусть p = a(h) , q = a(k) . Тогда
и . По признаку подгруппы получаем 2.3. Пусть
то есть элементы p = a(h) , q = a(k) входят в . Тогда то есть . Пусть теперь подгруппа нормальна и - любой элемент. и потому .Определение.
Нормальная подгруппа
называется ядром гомоморфизма .Образ этого гомоморфизма обозначается .Теорема.
Гомоморфизм a инъективен тогда и только тогда, когда
Доказательство.
Поскольку
, указанное условие необходимо. С другой стороны, если , то и если ядро тривиально, и отображение инъективно.Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.
Теорема о гомоморфизме.
Любой гомоморфизм
можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма , изоморфизма и (инъективного) гомоморфизма (вложения подгруппы в группу): .Доказательство.
Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм j. Пусть
. Элементами факторгруппы являются смежные классы Hg . Все элементы имеют одинаковые образы при отображении a: . Поэтому формула определяет однозначное отображение . Проверим сохранение операции .Поскольку отображение j очевидно сюръективно, остается проверить его инъективность. Если , то и потому . Следовательно, и по предыдущей теореме j инъективно.