Аналитическая геометрия (стр. 3 из 3)

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²

Определение: ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

(a, b) – вектор асимптотического направления.

a₁₁a²+2a₁₂ab+a₂₂b²=0 (*)

Рассмотрим (a’, b’) параллельный (a, b):

следовательно . Дробь a/b характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение: положим, что b¹0 и поделим на b², получим: a₁₁(a/b)²+2a₁₂a/b+a₂₂=0 из этого квадратного уравнения найдем a/b.

т.к. у линий гиперболического и параболического типов I₂£0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I₂>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

(a, b)₁=(a,b)

(a, b)₂=(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y²=2px

y²-2px=0

u(x,y)= y²+0, y=0

(a, b)=(0,0)

Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C¹0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках:

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x₀;y₀;z₀). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax₀+By₀+Cz₀=-D

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

5. Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М₁(x₁;y₁;z₁); М₂(x₂;y₂;z₂); М₃(x₃;y₃;z₃)

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

М₁Мx-x₁ y-y₁ z-z₁

М₁М₂x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁ =0

М₁М₃x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁

6. Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V₁;V₂;V₃); U(U₁;U₂;U₃); M₀(x₀;y₀;z₀), тогда плостость имеет вид: система: x=x₀+V₁t+U₁s и y=y₀+V₂t+U₂s и z=z₀+V₃t+U₃s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M₀(x₀;y₀;z₀)

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0; A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, поэтому n₁(A₁;B₁;C₁); n₂(A₂;B₂;C₂). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.