Покажем, как превратить такую величину R в дискретную с биномиальным законом распределения. Пусть нам нужна случайная величина K, с целочисленными значениями от 0 до N при значении заданном значении параметра p. Один из вариантов алгоритма такой генерации мог бы выглядеть так.

Var X, P: Real;

I, K, N: Integer;

K:=0;

For I:=1 to N Do

Begin

X:= R;

If X>(1– p)

Then K:=K+1

End;

После очередного цикла генерации мы получаем случайную величину K, распределенную по биномиальному закону настолько надежно, насколько удачной является функция генерации числа R. Во избежание сомнений стоит потратить время на обкатку такого алгоритма – повторив цикл 100 или 1000 раз и проверив надежность генерации по данным "наблюдений" с помощью теоретических значений математического ожидания N·p и дисперсии N·p·(1–p).

Несколько более сложно генерировать непрерывные случайные величины, в частности для популярных распределений – нормального, "хи–квадрат", Стьюдента и т.п.

Дело здесь в том, что непрерывная случайная величина имеет бесконечное число допустимых значений, даже если интервал этих значений ограничен.

Но, вместе с тем, для конкретного закона распределения непрерывной случайной величины известна плотность вероятности – предел, к которому стремится вероятность попадания такой величины в заданный интервал при сужении интервала до нуля.

Покажем эти трудности и пути их преодоления на примере нормального распределения. Пусть нам требуется генерировать нормированную случайную величину Z с нормальным законом распределения.

Для такой величины m =0, s=1, а попадание ее значений в диапазон более 3 или менее –3 практически невероятно (около 0.0027).

Разобьем диапазон –3…+3 на 2N+1 интервалов, шириной 2d каждый. При достаточно малом d= 3 / N, вероятность попадания Z в любой из них вычисляется легко:

P(–d <Z <+d) @ 2d·j (0) = 2P₀;

P( d <Z < 3d) @ 2d·j (2d) = P₁< P₀;

P(3d <Z < 5d) @ 2d·j (4d) = P₂< P₁;

P(5d <Z < 7d) @ 2d·j (6d) = P₃< P₂;

……………………………………………

P(2·d– d <Z < 2k·d+ d) @ 2d·j (2k·d) = P_K;

………………………………………………………

P(2N·d– d<Z < 2N·d+ d) @ 2d·j (2N·d) = P_N;

Поскольку 2·P₀+2·P₁+2·P₂+ …+2·P_N@1, то можно предложить следующий алгоритм генерации нормированной случайной величины Z .

Вся шкала допустимых значений генерации равномерно распределенной случайной величины X (0…1) разбивается на интервалы с шириной, соответствующей значениям P_K, в порядке убывания.

Если при очередной генерации равномерно распределенной случайной величины X ее значение попадает в интервалы –

0.5 – P₀<X<0.5 + P₀, то считается сгенерированным Z=0;

0.5 + P₀<X<0.5 + P₀+P₁, то считается сгенерированным Z=2d;

0.5+P₀+P₁<X<0.5+P₀+P₁+P₂, то считается сгенерированным Z=4d;

и так далее вплоть до последнего правого интервала –

0.999 <X<1, когда считается сгенерированным Z = 2N·d+d =3+d.

Точно также генерируются отрицательные значения Z – в соответствии с ситуациями генерации X<0.5 .

Описанный выше алгоритм, разумеется, не является единственным. Его рассмотрение преследовало только оду цель – дать представление о самой возможности решать задачи программирования "источников" случайных величин с заранее заданным законом распределения.

9.Литература

Название	Автор	Год
1. Прикладная Статистика	Айвазян С.А. и др.	1983
2. Стохастические модели социальных процессов	Бартоломью Д.	1987
3. Прикладная комбинаторная математика	Беккенбах Э.(ред.)	1968*
4. Математическая статистика вып.1,2	Бикел П., Доксам М.	1987
5. Таблицы математической статистики	Большев Л.Н., Смирнов Н.В.	1965*
6. Комбинаторика	Виленкин Н.Я.	1969*
7. Многомерное шкалирование	Дейвисон М.	1988
8. Методы анализа данных	Дидэ Э. и др.	1987
9. Теория распределений	Кэндалл М., Стьюарт А.	1966
10.Статистические выводы и связи	Кэндалл М., Стьюарт А.	1973*
11.Теоретическая статистика	Кокс Д., Хинкли Д.	1978*
12.Математические методы статистики	Крамер Г.	1975*
13.Ранговые корреляции	Кэндалл М.	1975*
14.Математические методы в социальных науках	Лазарсфельд П., Генри Н.	1973*
15.Проверка статистических гипотез	Леман Э.	1985
16.Метод наименьших квадратов	Линник Ю.В.	1962
17.Справочник по прикладной статистике т.1	Ллойд Э., Ледерман У.	1989*
18.Справочник по прикладной статистике т.2	Ллойд Э., Ледерман У.	1990*
19.Наука об управлении. Байесовский подход	Моррис У.	1971*
20.Вероятность	Мостеллер Ф.	1969*
21.Вычисл. алгоритмы в прикладной статистике	Мэйндоналд Дж.	1988*
22.Стат.оценивание и проверка гипотез на ЭВМ	Петрович М.Л., Давидович М.И.	1989*
23.Математическое открытие	Пойа Д.	1970*
24.Теория вероятностей	Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А.	1973*
25.Прикладная теория статистических решений	Райфа Г., Шлейфер Р.	1987
26.Введение в комбинаторный анализ	Риордан Дж.	1963*
27.Справочник по непараметрической статистике	Рунион Р.	1982*
28.Сборник задач по теории вероятностей…	Свешников А.А.	1965*
29.Непараметрические методы статистики	Тюрин Ю.Н.	1978
30.Статист. модели в инженерных задачах	Хан Г., Шапиро С.	1969*
31.Статист. выводы, основанные на рангах	Хеттманспергер Т.	1987
32.Непараметрические методы статистики	Холлендер М., Вулф Д.	1983
33.Элементарная теория статистических решений	Чернов Г., Мозес Л.	1962*
34.Теория вероятностей, мат. статистика…	Шторм Р.	1970*

©От автора 

Конспект содержит расширенное содержание лекций и семинаров по курсу "Математическая статистика" для специальностей "Финансы и кредит" (набора 1995 г.) и соответствует сокращенной программе (18 часов лекций, 18 часов семинаров). Онтодидактическое назначение курса – создание логико–математической базы для изучения курса "Основы теории систем и системного анализа", а также для курса "Экономическая статистика", от которого и была, по сути дела, отделена примерно третья часть под данный курс. Назначение его, кроме отмеченного выше, – обеспечить запас фундаментальных знаний, необходимый для восприятия еще двух дисциплин цикла информационных технологий – "Компьютерная техника и программирование" (в части курсового проекта) и "Основы теории информационных систем".

Проф. Корнилов Г.И.

март 1997 г.
Оглавление

1. Введение в курс........................................................................................................................................

1.1 Основные определения........................................................................................................................

1.2 Вероятности случайных событий....................................................................................................

2. Распределения вероятностей случайных величин............................................................................

2.1 Шкалирование случайных величин....................................................................................................

2.2 Законы распределений дискретных случайных величин.................................................................

2.3 Односторонние и двухсторонние значения вероятностей............................................................

2.4 Моменты распределений дискретных случайных величин..........................................................

2.5 Распределения непрерывных случайных величин...........................................................................

2.5.1 Нормальное распределение......................................................................................................

2.5.2 Распределения выборочных значений параметров нормального распределения................

3. Взаимосвязи случайных величин.........................................................................................................

3.1 Парная корреляция............................................................................................................................

3.2 Множественная корреляция............................................................................................................

4. Проверка статистических гипотез........................................................................................................

4.1 Понятие статистической гипотезы.............................................................................................

4.2 Критерии статистических гипотез..............................................................................................

4.3 Ошибки при проверке статистических гипотез..........................................................................

5. Выборочные распределения на шкалах Int и Rel................................................................................

5.1 Оценка наблюдений при неизвестном законе распределения.......................................................

5.2 Оценка наблюдений при известном законе распределения...........................................................

5.2.1 Оценка параметров нормального распределения..................................................................

5.2.2 Оценка параметров дискретных распределений................................................................

6. Выборочные распределения на шкале Nom........................................................................................

6.1 Случай двухзначной случайной величины, N<50............................................................................

6.2 Случай двухзначной случайной величины, N>50............................................................................

6.3 Случай многозначной случайной величины..................................................................................

7. Выборочные распределения на шкале Ord..........................................................................................

8. Материал семинарских занятий............................................................................................................

8.1 Введение в комбинаторику...............................................................................................................

8.2 Методы вычисления моментов распределений.............................................................................

8.3 Алгоритмы простейших статистических расчетов..................................................................

8.3.1 Вычисление моментов выборочных распределений............................................................

8.3.2 Проблема переполнения...........................................................................................................

8.3.3 Моделирование законов распределения.................................................................................

9. Литература..............................................................................................................................................

Математическая статистика (стр. 14 из 14)

9.Литература